1. [6.0val] Nos vértices de um triângulo equilátero de lado L foram colocadas três partículas idênticas, eletrizadas negativamente, cuja carga elétrica é -q. No baricentro G fixamos uma quarta partícula de carga elétrica Q . É dada a constante eletrostática do meio: K. Sabendose que as três partículas dos vértices estão soltas, determine:
    a) A distancia de cada partícula q até a carga Q para que o sistema permaneça em equilíbrio eletrostático.
    b) O módulo da força resultante em G se L=\sqrt{12}.

Passo 1

O enunciado trata de três cargas iguais -q nos vértices de um triângulo equilátero de lado L e de uma carga Q colocada no baricentro G. As três cargas -q estão livres, ou seja, para que elas permaneçam em equilíbrio a força elétrica resultante sobre cada uma delas deve ser nula. Vamos usar simetria do triângulo e princípio da superposição de forças elétricas para resolver.

Passo 2

Em um triângulo equilátero de lado L, a distância de cada vértice ao baricentro é dada por
d = \tfrac{2}{3}\times\bigl(\text{altura do triângulo}\bigr) = \tfrac{2}{3}\times\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}L\bigr) = \tfrac{L}{\sqrt{3}}.â
Logo, cada carga -q está a
\boxed{d = \frac{L}{\sqrt{3}}}
da carga Q.

Passo 3

Para verificar o equilíbrio de uma carga -q num vértice, note que as forças das outras duas -q somam-se num vetor de módulo
F_{\rm rep} = 2\cdot\frac{Kq^2}{L^2}\cos30^\circ = \sqrt{3}\,\frac{Kq^2}{L^2}
direcionado para o baricentro. A força de Q sobre -q tem a mesma direção (reta V G) mas sentido contrário (atração se Q>0), e seu módulo é
F_Q = \frac{K\,q\,Q}{d^2} = \frac{K\,q\,Q}{\bigl(L/\sqrt{3}\bigr)^2} = 3\,\frac{K\,q\,Q}{L^2}.
Para equilíbrio dessas duas contribuições basta escolher o sinal de Q (positivo) e o valor de d que já vimos ser o fixo L/\sqrt3.

Passo 4

Agora, para o ponto G (onde está Q), a força resultante das três cargas -q é soma de três vetores iguais, simetricamente espaçados a 120^\circ no plano. Pela simetria essa soma vetorial é zero, qualquer que seja L.

Resposta

a) \displaystyle d = \frac{L}{\sqrt{3}}
b) \displaystyle F_{\rm resultante\\ em\\ G}=0

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