Use variação de parâmetros para resolver o sistema dado.
\mathbf{X}^{\prime}=\left(\begin{array}{rrr}3 & -1 & -1 \\\\ 1 & 1 & -1 \\\\ 1 & -1 & 1\end{array}\right) \mathbf{X}+\left(\begin{array}{c}0 \\\ t \\\\ 2 e^{t}\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema não homogeneizado
\mathbf X' = A\,\mathbf X + \mathbf g(t),
onde
A = \begin{pmatrix}3 & -1 & -1 \\[6pt] 1 & 1 & -1 \\[6pt] 1 & -1 & 1\end{pmatrix}, \quad \mathbf g(t)=\begin{pmatrix}0\\[3pt]t\\[3pt]2e^t\end{pmatrix},
usando o método de variação de parâmetros para sistemas lineares. Precisamos (1) achar a solução geral do sistema homogêneo \mathbf X'=A\mathbf X e (2) obter uma solução particular por variação de constantes.]

Passo 2

Encontramos primeiro os autovalores e autovetores de A. O polinômio característico é
\det(A-\lambda I)=\lambda^3-5\lambda^2+8\lambda-4=(\lambda-1)(\lambda-2)^2.
Logo \lambda_1=1 (simples) e \lambda_2=2 (multiplicidade 2).
Para \lambda_1=1, a condição (A-I)v=0 v_1=(1,1,1)^T.
Para \lambda_2=2, a condição (A-2I)v=0 dá a equação x=y+z, gerando dois vetores independentes, por exemplo
v_2=(1,1,0)^T,\quad v_3=(1,0,1)^T.
A solução geral do homogêneo é
\mathbf X_h(t) =C_1 e^{t}v_1 + C_2 e^{2t}v_2 + C_3 e^{2t}v_3.

Passo 3

Pela variação de parâmetros, procuramos
\mathbf X_p(t) = u_1(t)e^{t}v_1 + u_2(t)e^{2t}v_2 + u_3(t)e^{2t}v_3,
com as funções u_i satisfazendo a condição
u_1'\,e^{t}v_1 + u_2'\,e^{2t}v_2 + u_3'\,e^{2t}v_3 \;=\;\mathbf g(t).
Escrevendo componente a componente, obtemos o sistema para \bigl(u_1',u_2',u_3'\bigr):
\begin{cases} e^t u_1' + e^{2t}u_2' + e^{2t}u_3' = 0,\\[4pt] e^t u_1' + e^{2t}u_2' = t,\\[4pt] e^t u_1' + e^{2t}u_3' = 2e^t. \end{cases}]

Passo 4

Resolvendo esse sistema achamos
u_1' = t e^{-t} + 2,\quad u_2' = -2e^{-t},\quad u_3' = -t e^{-2t}.
Integramos cada uma (escolhendo constantes de integração zero para obter só uma particular):
u_1(t)= -\bigl(t+1\bigr)e^{-t}+2t,\quad u_2(t)=2e^{-t},\quad u_3(t)=\tfrac12\,t\,e^{-2t}+\tfrac14\,e^{-2t}.

Passo 5

Substituindo em \mathbf X_p e somando vetores, obtemos uma solução particular
\mathbf X_p(t) =\begin{pmatrix} 2(t+1)e^t-\tfrac t2-\tfrac34\\[4pt] (t+1)\bigl(2e^t-1\bigr)\\[4pt] 2t e^t-\tfrac t2-\tfrac34 \end{pmatrix}.]

Passo 6

A solução geral do sistema não homogeneizado é a soma da homogênea com essa particular:
\boxed{ \mathbf X(t) = C_1e^{t}\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix} + C_2e^{2t}\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} + C_3e^{2t}\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 2(t+1)e^t-\tfrac t2-\tfrac34\\[4pt] (t+1)\bigl(2e^t-1\bigr)\\[4pt] 2t e^t-\tfrac t2-\tfrac34 \end{pmatrix}. }]

Resposta

\mathbf X(t) = C_1e^{t}\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix} + C_2e^{2t}\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} + C_3e^{2t}\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 2(t+1)e^t-\tfrac t2-\tfrac34\\[4pt] (t+1)\bigl(2e^t-1\bigr)\\[4pt] 2t e^t-\tfrac t2-\tfrac34 \end{pmatrix}.]

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