Use variação de parâmetros para resolver o sistema dado. \mathbf{X}^{\prime}=\left(\begin{array}{rr}1 & 8 \\\\ 1 & -1\end{array}\right) \mathbf{X}+\binom{12}{12} t
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema não homogêneo por variação de parâmetros:
\mathbf{X}' = A\,\mathbf{X} + \binom{12}{12}\,t,
onde
A = \begin{pmatrix}1 & 8 \\\\ 1 & -1\end{pmatrix}.
O conteúdo é teoria de sistemas lineares não homogêneos e vamos precisar de: (i) solução geral do homogêneo, (ii) matriz fundamental \Phi(t), (iii) fórmula de variação de parâmetros \mathbf{X}_p=\Phi(t)\!\int \Phi(t)^{-1}f(t)\,dt.
Passo 2
Encontre a solução do sistema homogêneo \mathbf{X}'=A\mathbf{X}. O polinômio característico é
Para \lambda=3, um autovetor é \begin{pmatrix}4\\\ 1\end{pmatrix}.
Para \lambda=-3, um autovetor é \begin{pmatrix}-2\\\ 1\end{pmatrix}.
Logo a solução geral do homogêneo é