Use variação de parâmetros para resolver o sistema dado.
\mathbf{X}^{\prime}=\left(\begin{array}{rr}1 & 8 \\\\ 1 & -1\end{array}\right) \mathbf{X}+\binom{12}{12} t

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema não homogêneo por variação de parâmetros:
\mathbf{X}' = A\,\mathbf{X} + \binom{12}{12}\,t,
onde
A = \begin{pmatrix}1 & 8 \\\\ 1 & -1\end{pmatrix}.
O conteúdo é teoria de sistemas lineares não homogêneos e vamos precisar de: (i) solução geral do homogêneo, (ii) matriz fundamental \Phi(t), (iii) fórmula de variação de parâmetros \mathbf{X}_p=\Phi(t)\!\int \Phi(t)^{-1}f(t)\,dt.

Passo 2

Encontre a solução do sistema homogêneo \mathbf{X}'=A\mathbf{X}. O polinômio característico é
\lambda^2 -\operatorname{tr}(A)\,\lambda +\det(A) =\lambda^2 -0\lambda -9=0 \;\Longrightarrow\; \lambda=\pm3.
Para \lambda=3, um autovetor é \begin{pmatrix}4\\\ 1\end{pmatrix}.
Para \lambda=-3, um autovetor é \begin{pmatrix}-2\\\ 1\end{pmatrix}.
Logo a solução geral do homogêneo é
\mathbf{X}_h = C_1 e^{3t}\begin{pmatrix}4\\\ 1\end{pmatrix} + C_2 e^{-3t}\begin{pmatrix}-2\\\ 1\end{pmatrix}.
A matriz fundamental pode ser escolhida como
\Phi(t) =\begin{pmatrix} 4e^{3t} & -2e^{-3t}\\[6pt] e^{3t} & e^{-3t} \end{pmatrix}.]

Passo 3

Calcule \Phi(t)^{-1}. O determinante é
\det\Phi(t) =4e^{3t}\cdot e^{-3t} - (-2e^{-3t})\cdot e^{3t} =4-(-2)=6.
Logo
\Phi(t)^{-1} =\frac1{6} \begin{pmatrix} e^{-3t} & 2e^{-3t}\\[4pt] -\,e^{3t} & 4e^{3t} \end{pmatrix}.
Em seguida, calcule o produto \Phi(t)^{-1}f(t) com f(t)=\binom{12t}{12t}:
\Phi^{-1}f =\frac1{6} \begin{pmatrix} e^{-3t} & 2e^{-3t}\\\\ -\,e^{3t} & 4e^{3t} \end{pmatrix} \binom{12t}{12t} =\binom{6t\,e^{-3t}}{6t\,e^{3t}}.]

Passo 4

Integre o vetor obtido:
\int 6t\,e^{-3t}\,dt = \bigl(-2t -\tfrac{2}{3}\bigr)e^{-3t}, \qquad \int 6t\,e^{3t}\,dt =\bigl(2t -\tfrac{2}{3}\bigr)e^{3t}.
Assim um vetor primitivo é
\mathbf{u}(t) =\begin{pmatrix} (-2t -\tfrac{2}{3})e^{-3t}\\[4pt] (2t -\tfrac{2}{3})e^{3t} \end{pmatrix}.]

Passo 5

Aplique variação de parâmetros para obter uma solução particular:
\mathbf{X}_p(t) =\Phi(t)\,\mathbf{u}(t) =\begin{pmatrix} 4e^{3t} & -2e^{-3t}\\[4pt] e^{3t} & e^{-3t} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} (-2t -\tfrac{2}{3})e^{-3t}\\[4pt] (2t -\tfrac{2}{3})e^{3t} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -12t -\tfrac{4}{3}\\[4pt] -\tfrac{4}{3} \end{pmatrix}.
Logo a solução geral do sistema não homogêneo é
\mathbf{X}(t) =\mathbf{X}_h(t)+\mathbf{X}_p(t) =C_1 e^{3t}\begin{pmatrix}4\\\ 1\end{pmatrix} + C_2 e^{-3t}\begin{pmatrix}-2\\\ 1\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}-12t -\tfrac{4}{3}\\[4pt]-\tfrac{4}{3}\end{pmatrix}.]

Resposta

\boxed{ \mathbf{X}(t) =C_{1}e^{3t}\begin{pmatrix}4\\\ 1\end{pmatrix} +C_{2}e^{-3t}\begin{pmatrix}-2\\\ 1\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}-12t -\tfrac{4}{3}\\[4pt]-\tfrac{4}{3}\end{pmatrix}. }]

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