\mathrm{n}=12
d=\frac{n(n-3)}{2} \Rightarrow d=\frac{12(12-3)}{2}=54
Logo \mathrm{d}=54.
2. Determine o polígono que possui 35 diagonais.
Resolução:
\mathrm{d}=35
35=\frac{n(n-3)}{2} \Rightarrow 70=n^{2}-3 n
n^{2}-3 n-70=0
\mathrm{n}=10 ou \mathrm{n}=-7 (não pode ser negativo)
Logo \mathrm{n}=10 e o polígono é um decágono.

2.2.2 Soma dos ângulos internos de um polígono

S=180^{\circ}(n-2) onde, \mathrm{n}= número de lados do polígono
Exemplo: Calcule a soma dos ângulos internos de um hexágono.

Passo 1

O que o enunciado pede: Calcular a soma dos ângulos internos de um hexágono.
Informações dadas e relevantes: n=6 (número de lados do hexágono) e a fórmula para a soma dos ângulos internos de um polígono é
S=180^\circ(n-2).
Aqui S é a soma dos ângulos internos (em graus) e n é o número de lados do polígono.

Passo 2

Entendendo a fórmula: por que S=180^\circ(n-2)? Vou explicar passo a passo, sem pular etapas.
  • Pegue um polígono convexo qualquer com n vértices. Escolha um vértice qualquer e desenhe diagonais desse vértice para todos os vértices não adjacentes.
  • Quantas diagonais saem desse vértice? Você não pode ligar ao próprio vértice nem aos dois vértices adjacentes, então liga aos outros n-3 vértices. Logo, a partir desse vértice saem n-3 diagonais.
  • Essas n-3 diagonais particionam o polígono em n-2 triângulos. (Ex.: se não há diagonais, n=3 tem 1 triângulo; se há 1 diagonal, n=4 tem 2 triângulos; etc.)
  • Cada triângulo tem soma dos ângulos internos igual a 180^\circ. Como temos n-2 triângulos não sobrepostos, a soma total dos ângulos internos do polígono é
S = 180^\circ \times (n-2).
Pronto — essa é a origem da fórmula. Aqui explicitei o significado de cada variável: n = número de lados; S = soma buscada.

Passo 3

Aplicando ao hexágono: substituímos n=6 na fórmula. Primeiro calcule n-2:
n-2 = 6-2 = 4.

Passo 4

Agora multiplicamos por 180^\circ:
S = 180^\circ \times 4.
Vou fazer a multiplicação passo a passo sem calculadora: 4\times 100=400 e 4\times 80=320. Somando, 400+320=720. Portanto
S = 720^\circ.

Passo 5

Interpretação e checagens rápidas (úteis para a prova):
  • Significa que todos os ângulos internos somam \,720^\circ.
  • Para um hexágono regular (todos os ângulos iguais), cada ângulo interno vale \dfrac{720^\circ}{6}=120^\circ.
  • Como checagem com outros n: triângulo ( n=3) dá 180^\circ; quadrilátero ( n=4) dá 360^\circ; pentágono ( n=5) dá 540^\circ. Aumenta sempre de 180^\circ a cada lado a mais — faz sentido com a ideia de adicionar um triângulo.

Resposta

\,720^\circ

Exercícios relacionados