Verifique re nos ou nas diagonalizáveis os operadores lineares abaixo:
Passo 1
O enunciado dá um operador linear
definido por
O que a questão pede: verificar se
é diagonalizável (sobre
).\n
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Passo 2
Breve explicação do que vamos fazer (sem resolver ainda): para decidir se
é diagonalizável vamos representar
por uma matriz na base canônica, calcular os autovalores (valores próprios) dessa matriz usando o polinômio característico, achar os autovetores correspondentes e verificar se há dois autovetores linearmente independentes (um para cada dimensão de
). Se encontrarmos uma base de
formada por autovetores, a matriz (e portanto
) é diagonalizável. Vou explicar cada conceito conforme for usando.
Passo 3
Vamos obter a matriz de
na base canônica
. Calculamos as imagens dos vetores da base:
A matriz
de
cujas colunas são
e
é
Explicação rápida: cada coluna é a imagem do correspondente vetor da base canônica escrita em coordenadas dessa mesma base.]
Passo 4
Agora calculamos o polinômio característico de
. Por definição o polinômio característico é
. Calculamos:
e portanto
As raízes (autovalores) são obtidas resolvendo
, logo
Comentário didático: quando o polinômio fatoriza em fatores lineares distintos, os autovalores são distintos. Autovalores distintos frequentemente implicam diagonalizabilidade, mas precisamos mostrar que há autovetores suficientes (um para cada autovalor).]
Passo 5
Encontrar autovetores para
então o sistema
é
Ambas as equações dão
, então
é livre; escolhendo
obtemos um autovetor
Explicação: um autovetor para
é qualquer múltiplo escalar de
. Esse vetor satisfaz
.]
Passo 6
Encontrar autovetores para
. Calculamos
:
Resolvendo
obtemos a equação
Isto dá
. Podemos escolher um valor conveniente para
para obter um vetor com entradas inteiras: tomando
obtemos
. Assim um autovetor é
Verificação rápida: multiplicando
encontramos
ou seja, de fato
é autovetor associado a
.]
Passo 7
Verificamos se os autovetores
e
são linearmente independentes. Formamos a matriz
cujas colunas são
e
:
O determinante de
é
. Como
, as colunas são linearmente independentes e, portanto,
é uma base de
.]
Passo 8
Conclusão e checagem final: como encontramos dois autovetores linearmente independentes (igual à dimensão do espaço), eles formam uma base de autovetores. Isso implica que existe uma matriz invertível
tal que
onde
é a matriz diagonal com as entradas
e
. No nosso caso, tomando as colunas de
como
e
,
Uma verificação direta que confirma isso é notar que
: a primeira coluna de
é
e a segunda coluna é
, exatamente as colunas de
. Como
é invertível, isso mostra explicitamente a diagonalização. Logo
é diagonalizável sobre
.]
Resposta
Sim.
é diagonalizável sobre
.\nAutovalores:
,
.\nAutovetores (exemplos):
para
e
para
.