Para
, determine o gradiente em
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que eu determine o gradiente no ponto
.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- A função é
. - O ponto em que devo avaliar é
. - A pergunta é: qual é
?
Passo 2
O que é o gradiente e como ele se escreve (só a definição, sem calcular ainda).
O gradiente de uma função de três variáveis é o vetor cu componentes são as derivadas parciais de
em relação a cada variável. Em notação:
O gradiente de uma função de três variáveis
Aqui
significa: derivar
em relação a
mantendo
e
fixos; e análogamente para as outras componentes.
Passo 3
Como calcular derivadas parciais — explicação prática e passo a passo.
Regra prática: ao derivar em relação a uma variável, trato as outras como constantes. No caso de cada parcial é simples porque é um produto em que duas variáveis ficam constantes quando derivamos em relação à terceira.
Regra prática: ao derivar em relação a uma variável, trato as outras como constantes. No caso de
Calculemos cada parcial:
Para
: trato
e
como constantes. Então
é uma função linear em
com coeficiente
. A derivada de
é
, então
Para
: trato
e
como constantes. Escrevo
. A derivada de
é
, logo
Para
: trato
e
como constantes. Escrevo
. Assim
Passo 4
Resumo das componentes do gradiente antes de avaliar:
Isso significa que, em qualquer ponto
, as componentes do gradiente são os produtos indicados.
Passo 5
Avaliar as componentes no ponto
. Agora substituo
,
,
nas expressões obtidas:
Calcule
:
Calcule
:
Calcule
:
Passo 6
Junto as componentes avaliadas para formar o vetor gradiente no ponto: