Para \mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=\mathrm{xyz}, determine o gradiente em (1,2,-1).

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y,z)=xyz e pede que eu determine o gradiente no ponto (1,2,-1).
Informações relevantes:
  • A função é f(x,y,z)=xyz.
  • O ponto em que devo avaliar é (1,2,-1).
  • A pergunta é: qual é \nabla f(1,2,-1)?

Passo 2

O que é o gradiente e como ele se escreve (só a definição, sem calcular ainda).
O gradiente de uma função de três variáveis f(x,y,z) é o vetor cu componentes são as derivadas parciais de f em relação a cada variável. Em notação:
\nabla f(x,y,z)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\;\frac{\partial f}{\partial y},\;\frac{\partial f}{\partial z}\right).
Aqui \frac{\partial f}{\partial x} significa: derivar f em relação a x mantendo y e z fixos; e análogamente para as outras componentes.

Passo 3

Como calcular derivadas parciais — explicação prática e passo a passo.
Regra prática: ao derivar em relação a uma variável, trato as outras como constantes. No caso de f(x,y,z)=x\cdot y\cdot z cada parcial é simples porque é um produto em que duas variáveis ficam constantes quando derivamos em relação à terceira.
Calculemos cada parcial:
Para \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}: trato y e z como constantes. Então f(x,y,z)=x\cdot (yz) é uma função linear em x com coeficiente yz. A derivada de x é 1, então
\frac{\partial f}{\partial x}=yz.
Para \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}: trato x e z como constantes. Escrevo f(x,y,z)=y\cdot (xz). A derivada de y é 1, logo
\frac{\partial f}{\partial y}=xz.
Para \displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}: trato x e y como constantes. Escrevo f(x,y,z)=z\cdot (xy). Assim
\frac{\partial f}{\partial z}=xy.

Passo 4

Resumo das componentes do gradiente antes de avaliar:
\nabla f(x,y,z)=\bigl(yz,\;xz,\;xy\bigr).
Isso significa que, em qualquer ponto (x,y,z), as componentes do gradiente são os produtos indicados.

Passo 5

Avaliar as componentes no ponto (1,2,-1). Agora substituo x=1, y=2, z=-1 nas expressões obtidas:
Calcule \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(1,2,-1):
\frac{\partial f}{\partial x}(1,2,-1)=y\cdot z=2\cdot(-1)=-2.
Calcule \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(1,2,-1):
\frac{\partial f}{\partial y}(1,2,-1)=x\cdot z=1\cdot(-1)=-1.
Calcule \displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}(1,2,-1):
\frac{\partial f}{\partial z}(1,2,-1)=x\cdot y=1\cdot2=2.

Passo 6

Junto as componentes avaliadas para formar o vetor gradiente no ponto:
\nabla f(1,2,-1)=(-2,\,-1,\,2).

Resposta

\nabla f(1,2,-1)=(-2,-1,2)

Exercícios relacionados