Um campo escalar é dado por
. Calcule o vetor gradiente em
.
Passo 1
O enunciado dá o campo escalar
e pede o vetor gradiente no ponto
.\n
Informações relevantes:
(função dada);
o ponto onde devemos avaliar é ;
o que se pede é (o vetor gradiente avaliado nesse ponto).
Informações relevantes:
o ponto onde devemos avaliar é
o que se pede é
Passo 2
O que é o gradiente e como ele aparece aqui? O gradiente de uma função escalar de três variáveis é o vetor formado pelas derivadas parciais em relação a cada variável; ele aponta a direção de crescimento mais rápido da função e tem componentes iguais às taxas de variação da função nas direções dos eixos coordenados. Em fórmulas:
Aqui cada derivada parcial significa: derivar
em relação àquela variável mantendo as outras fixas.
Passo 3
Calcular
. Tratamos
e
como constantes e derivamos termo a termo:
depende de
e sua derivada é
(regra do potência: a derivada de
é
; por exemplo a derivada de
vem do limite
).
Os termos e
são constantes em relação a
, então suas derivadas em relação a
são
.
Portanto,
Os termos
Portanto,
Passo 4
Calcular
. Agora tratamos
e
como constantes:
o termo é constante em
e dá
;
o termo tem derivada
(regra: a constante multiplicativa sai e a derivada de
é
);
o é constante em
e dá
.
Portanto,
o termo
o termo
o
Portanto,
Passo 5
Calcular
. Tratamos
e
como constantes:
e
são constantes em
e dão
;
tem derivada
.
Portanto,
Portanto,
Passo 6
Agora juntamos as três derivadas parciais para escrever o gradiente geral:
Isso significa que, em qualquer ponto
, o gradiente tem essas componentes.
Passo 7
Avaliar o gradiente no ponto
. Substituímos
,
e
nas componentes:
Portanto o gradiente no ponto é o vetor
. Bom trabalho — esse vetor indica, naquele ponto, a direção e taxa de aumento máximo de
.