Um campo escalar é dado por \mathrm{T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=\mathrm{x}^{2}+2 \mathrm{y}^{2}+3 \mathrm{z}^{2}. Calcule o vetor gradiente em (1,-1,0).

Passo 1

O enunciado dá o campo escalar \mathrm{T}(\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z})=\mathrm{x}^{2}+2\mathrm{y}^{2}+3\mathrm{z}^{2} e pede o vetor gradiente no ponto (1,-1,0).\n
Informações relevantes:
\mathrm{T}(\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z})=\mathrm{x}^{2}+2\mathrm{y}^{2}+3\mathrm{z}^{2} (função dada);
o ponto onde devemos avaliar é (1,-1,0);
o que se pede é \nabla \mathrm{T}(1,-1,0) (o vetor gradiente avaliado nesse ponto).

Passo 2

O que é o gradiente e como ele aparece aqui? O gradiente de uma função escalar de três variáveis é o vetor formado pelas derivadas parciais em relação a cada variável; ele aponta a direção de crescimento mais rápido da função e tem componentes iguais às taxas de variação da função nas direções dos eixos coordenados. Em fórmulas:
\nabla \mathrm{T}(x,y,z)=\left(\frac{\partial \mathrm{T}}{\partial x},\;\frac{\partial \mathrm{T}}{\partial y},\;\frac{\partial \mathrm{T}}{\partial z}\right).
Aqui cada derivada parcial significa: derivar \mathrm{T} em relação àquela variável mantendo as outras fixas.

Passo 3

Calcular \frac{\partial \mathrm{T}}{\partial x}. Tratamos \mathrm{y} e \mathrm{z} como constantes e derivamos termo a termo:
\mathrm{x}^{2} depende de \mathrm{x} e sua derivada é 2\mathrm{x} (regra do potência: a derivada de \mathrm{x}^{n} é n\mathrm{x}^{n-1}; por exemplo a derivada de \mathrm{x}^{2} vem do limite \lim_{h\to0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h}=2x).
Os termos 2\mathrm{y}^{2} e 3\mathrm{z}^{2} são constantes em relação a \mathrm{x}, então suas derivadas em relação a \mathrm{x} são 0.
Portanto,
\frac{\partial \mathrm{T}}{\partial x}=2\mathrm{x}.

Passo 4

Calcular \frac{\partial \mathrm{T}}{\partial y}. Agora tratamos \mathrm{x} e \mathrm{z} como constantes:
o termo \mathrm{x}^{2} é constante em \mathrm{y} e dá 0;
o termo 2\mathrm{y}^{2} tem derivada 2\cdot 2\mathrm{y}=4\mathrm{y} (regra: a constante multiplicativa sai e a derivada de \mathrm{y}^2 é 2\mathrm{y});
o 3\mathrm{z}^{2} é constante em \mathrm{y} e dá 0.
Portanto,
\frac{\partial \mathrm{T}}{\partial y}=4\mathrm{y}.

Passo 5

Calcular \frac{\partial \mathrm{T}}{\partial z}. Tratamos \mathrm{x} e \mathrm{y} como constantes:
\mathrm{x}^{2} e 2\mathrm{y}^{2} são constantes em \mathrm{z} e dão 0;
3\mathrm{z}^{2} tem derivada 3\cdot 2\mathrm{z}=6\mathrm{z}.
Portanto,
\frac{\partial \mathrm{T}}{\partial z}=6\mathrm{z}.

Passo 6

Agora juntamos as três derivadas parciais para escrever o gradiente geral:
\nabla \mathrm{T}(x,y,z)=\bigl(2x,\;4y,\;6z\bigr).
Isso significa que, em qualquer ponto (x,y,z), o gradiente tem essas componentes.

Passo 7

Avaliar o gradiente no ponto (1,-1,0). Substituímos \mathrm{x}=1, \mathrm{y}=-1 e \mathrm{z}=0 nas componentes:
2x=2\cdot 1=2,
4y=4\cdot(-1)=-4,
6z=6\cdot 0=0.
Portanto o gradiente no ponto é o vetor (2,-4,0). Bom trabalho — esse vetor indica, naquele ponto, a direção e taxa de aumento máximo de \mathrm{T}.

Resposta

\nabla \mathrm{T}(1,-1,0)=(2,-4,0)

Exercícios relacionados