Uma partícula move-se segundo
. Mostre que ela percorre um círculo de raio 1 e calcule a velocidade.
Passo 1
O enunciado nos dá a posição da partícula como a função vetor
.
As perguntas são:
As perguntas são:
- Mostrar que a trajetória é um círculo de raio
. - Calcular a velocidade (vetor velocidade) da partícula.
Informações relevantes dadas: para todoa abscissa é e a ordenada é .
Passo 2
Para mostrar que um ponto
pertence a um círculo de centro na origem e raio
basta verificar que
.
Aqui temos e
. Então compute:
Aqui temos
Agora usamos a identidade trigonométrica fundamental (é boa decorá‑la para provas): para todo
,
Essa identidade vem da definição geométrica do seno e cosseno no círculo trigonométrico (teorema de Pitágoras aplicada ao triângulo retângulo formado no círculo de raio 1).
Passo 3
Da igualdade do passo anterior obtemos
ou seja, para todo
o ponto
satisfaz a equação do círculo de centro na origem e raio
. Portanto a trajetória é exatamente esse círculo de raio
.
Passo 4
Agora vamos calcular a velocidade. Em movimento, a velocidade é a derivada temporal do vetor posição. A derivada de um vetor é feita componente a componente. Temos as regras básicas de derivação que vamos usar:
e
. Aplicando isso:
Expliquei cada passo: derivada de
dá
; derivada de
dá
.
Passo 5
Interpretação geométrica e rapidez (módulo da velocidade). Primeiro, a velocidade
é tangente ao círculo: podemos ver que ela é perpendicular ao vetor posição
porque o produto escalar é
Produto escalar zero significa ortogonalidade — logo
aponta tangencialmente, como esperado num movimento circular.
O módulo (rapidez) é
Portanto a partícula descreve o círculo de raio
com velocidade vetorial
e velocidade escalar (rapidez) constante igual a
.
Resposta
Percorre um círculo de raio
.
(rapidez
).