Uma partícula move-se segundo \mathrm{r}(\mathrm{t})=(\cos \mathrm{t}, \operatorname{sen} \mathrm{t}). Mostre que ela percorre um círculo de raio 1 e calcule a velocidade.

Passo 1

O enunciado nos dá a posição da partícula como a função vetor
\mathbf{r}(t)=(\cos t,\sin t).
As perguntas são:
  1. Mostrar que a trajetória é um círculo de raio 1.
  2. Calcular a velocidade (vetor velocidade) da partícula.
    Informações relevantes dadas: para todo t a abscissa é \cos t e a ordenada é \sin t.

Passo 2

Para mostrar que um ponto (x,y) pertence a um círculo de centro na origem e raio 1 basta verificar que x^2+y^2=1.
Aqui temos x(t)=\cos t e y(t)=\sin t. Então compute:
x(t)^2+y(t)^2=\cos^2 t+\sin^2 t.
Agora usamos a identidade trigonométrica fundamental (é boa decorá‑la para provas): para todo t,
\cos^2 t+\sin^2 t=1.
Essa identidade vem da definição geométrica do seno e cosseno no círculo trigonométrico (teorema de Pitágoras aplicada ao triângulo retângulo formado no círculo de raio 1).

Passo 3

Da igualdade do passo anterior obtemos
\cos^2 t+\sin^2 t=1,
ou seja, para todo t o ponto (\cos t,\sin t) satisfaz a equação do círculo de centro na origem e raio 1. Portanto a trajetória é exatamente esse círculo de raio 1.

Passo 4

Agora vamos calcular a velocidade. Em movimento, a velocidade é a derivada temporal do vetor posição. A derivada de um vetor é feita componente a componente. Temos as regras básicas de derivação que vamos usar: \dfrac{d}{dt}\cos t=-\sin t e \dfrac{d}{dt}\sin t=\cos t. Aplicando isso:
\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)=\bigl(\tfrac{d}{dt}\cos t,\tfrac{d}{dt}\sin t\bigr)=(-\sin t,\cos t).
Expliquei cada passo: derivada de \cos t -\sin t; derivada de \sin t \cos t.

Passo 5

Interpretação geométrica e rapidez (módulo da velocidade). Primeiro, a velocidade \mathbf{v}(t)=(-\sin t,\cos t) é tangente ao círculo: podemos ver que ela é perpendicular ao vetor posição \mathbf{r}(t) porque o produto escalar é
\mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{v}(t)=\cos t\cdot(-\sin t)+\sin t\cdot\cos t=0.
Produto escalar zero significa ortogonalidade — logo \mathbf{v}(t) aponta tangencialmente, como esperado num movimento circular.
O módulo (rapidez) é
\|\mathbf{v}(t)\|=\sqrt{(-\sin t)^2+(\cos t)^2}=\sqrt{\sin^2 t+\cos^2 t}=\sqrt{1}=1.
Portanto a partícula descreve o círculo de raio 1 com velocidade vetorial (-\sin t,\cos t) e velocidade escalar (rapidez) constante igual a 1.

Resposta

Percorre um círculo de raio 1.
\mathbf{v}(t)=(-\sin t,\cos t) (rapidez \|\mathbf{v}(t)\|=1).

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