(reação de
ordem)
Integre as equações de balanço e encontre uma expressão para
. Condição inicial:
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Dado: reação
com taxa de reação de primeira ordem .\n - Condição inicial:
\n - O que pedir: integrar as equações de balanço e encontrar uma expressão explícita para
(ou seja, como a concentração de A varia no tempo).
Passo 2
Escrevendo o balanço de massa para um reator batelada (batch) sem entrada nem saída: a taxa de variação temporal da concentração é igual à taxa de reação. Como a reação consome A, a taxa dada já vem com sinal negativo. Então a equação diferencial é
Aqui explico cada símbolo:
é a concentração de A no tempo
,
é a constante de velocidade (positiva) com unidades de
, e
é a derivada temporal de
, ou seja, a velocidade de variação da concentração.
Passo 3
Método de solução (separação de variáveis): a equação
é uma equação diferencial ordinária simples que se resolve separando as variáveis
e
. Colocamos todos os termos com
num lado e os termos com
no outro:
Comentário didático: isso é possível desde que
. Em problemas físicos com concentrações positivas essa manipulação é válida.
Passo 4
Integramos os dois lados. Para incorporar a condição inicial de forma direta, uso integrais definidas: integrar a variável
desde
até
e integrar o tempo desde
até
:
Avalio cada integral. A integral do lado esquerdo é um logaritmo natural:
Explicando:
. Com integrais definidas a constante some e ficamos com a diferença dos logs.
Passo 5
Isolo
. Uso identidade de logaritmo e exponenciação:
Aplicando exponencial em ambos os lados:
logo
Interpretação rápida: a concentração decai exponencialmente com constante de decaimento
. A constante
tem unidades de
. Uma consequência útil (se interessar na prova) é o tempo de meia-vida
, que é o tempo necessário para a concentração cair para metade.