\mathrm{A} \longrightarrow \mathrm{B}: r_{A}=-k C_{A} (reação de 1^{\mathrm{a}} ordem)
Integre as equações de balanço e encontre uma expressão para C_{A}(t). Condição inicial: C_{A}(0)=C_{A 0}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Dado: reação \mathrm{A}\longrightarrow\mathrm{B} com taxa de reação de primeira ordem \;r_{A} = -k C_{A}.\n
  • Condição inicial: \;C_{A}(0)=C_{A0}.\n
  • O que pedir: integrar as equações de balanço e encontrar uma expressão explícita para \;C_{A}(t) (ou seja, como a concentração de A varia no tempo).

Passo 2

Escrevendo o balanço de massa para um reator batelada (batch) sem entrada nem saída: a taxa de variação temporal da concentração é igual à taxa de reação. Como a reação consome A, a taxa dada já vem com sinal negativo. Então a equação diferencial é
\frac{dC_{A}}{dt}=r_{A}=-k C_{A}.
Aqui explico cada símbolo: \;C_{A}(t) é a concentração de A no tempo t, \;k é a constante de velocidade (positiva) com unidades de \text{tempo}^{-1}, e \;\frac{dC_{A}}{dt} é a derivada temporal de C_A, ou seja, a velocidade de variação da concentração.

Passo 3

Método de solução (separação de variáveis): a equação \;\frac{dC_{A}}{dt}=-k C_{A} é uma equação diferencial ordinária simples que se resolve separando as variáveis C_{A} e t. Colocamos todos os termos com C_{A} num lado e os termos com t no outro:
\frac{dC_{A}}{C_{A}}=-k\,dt.
Comentário didático: isso é possível desde que C_{A}\neq 0. Em problemas físicos com concentrações positivas essa manipulação é válida.

Passo 4

Integramos os dois lados. Para incorporar a condição inicial de forma direta, uso integrais definidas: integrar a variável \;C_{A} desde \;C_{A0} até \;C_{A}(t) e integrar o tempo desde 0 até t:
\int_{C_{A0}}^{C_{A}(t)} \frac{dC_{A}}{C_{A}} = -k \int_{0}^{t} dt.
Avalio cada integral. A integral do lado esquerdo é um logaritmo natural:
\ln\big(C_{A}(t)\big)-\ln\big(C_{A0}\big) = -k t.
Explicando: \int \frac{dC}{C}=\ln C + \text{constante}. Com integrais definidas a constante some e ficamos com a diferença dos logs.

Passo 5

Isolo \;C_{A}(t). Uso identidade de logaritmo e exponenciação:
\ln\!\left(\frac{C_{A}(t)}{C_{A0}}\right) = -k t.
Aplicando exponencial em ambos os lados:
\frac{C_{A}(t)}{C_{A0}} = e^{-k t},
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C_{A}(t)=C_{A0}\,e^{-k t}.
Interpretação rápida: a concentração decai exponencialmente com constante de decaimento k. A constante k tem unidades de \text{tempo}^{-1}. Uma consequência útil (se interessar na prova) é o tempo de meia-vida \;t_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{k}, que é o tempo necessário para a concentração cair para metade.

Resposta

C_{A}(t)=C_{A0}\,e^{-k t}

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