(reação de
ordem)
Integre as equações de balanço e encontre uma expressão para
. Condição inicial:
.
Passo 1
O enunciado dá uma reação
com a taxa de consumo de
e pede que integremos as equações de balanço para encontrar
sujeito à condição inicial
Informações relevantes listadas:
- A equação de taxa é
. - A condição inicial é
. - Precisamos expressar
como função do tempo .
Passo 2
Definindo o balanço material para um sistema batelada (tanque fechado, bem misturado, sem entrada nem saída), o balanço para
é
Aqui
é a concentração molar de
no tempo
,
é a derivada temporal dessa concentração, e
é a velocidade volumétrica de consumo (já dada).
Passo 3
Substituímos a expressão dada para
no balanço:
Essa é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem e autônoma.
Passo 4
Vamos resolver essa equação usando separação de variáveis (método: colocar termos envolvendo
de um lado e termos envolvendo
do outro). Dividindo ambos os lados por
e multiplicando por
, obtemos
Explicando o raciocínio: isolamos
sobre uma função de
para poder integrar em
, e o lado direito depende só de
, permitindo integração direta.
Passo 5
Agora integramos ambos os lados. Lembrete rápido de integração: para uma potência
com
, temos
. Aqui usamos
, então
Integrando o lado direito obtemos
mais constante de integração
. Assim
Passo 6
Aplicamos a condição inicial para determinar a constante
. Em
temos
, então
Passo 7
Voltando à solução geral e substituindo
:
Multiplicando por
dá
Invertendo ambos os lados (assumindo
, o que é físico para concentrações) encontramos
Podemos também escrever de forma mais usual multiplicando numerador e denominador por
:
Passo 8
Interpretação curta e dica para prova: a expressão mostra que a concentração decai com o tempo como hipérbole. Uma consequência prática é que o tempo de meia-vida (tempo para
cair a metade de
) é
, diferente do caso de primeira ordem (onde a meia-vida é constante independe de
). Isso é útil para questões rápidas em prova.