2 \mathrm{~A} \longrightarrow \mathrm{~B}: r_{A}=-k C_{A}^{2} (reação de 2^{\mathrm{a}} ordem)
Integre as equações de balanço e encontre uma expressão para C_{A}(t). Condição inicial: C_{A}(0)=C_{A 0}.

Passo 1

O enunciado dá uma reação 2\mathrm{~A}\longrightarrow \mathrm{~B} com a taxa de consumo de A
r_A = -k C_A^2,
e pede que integremos as equações de balanço para encontrar C_A(t) sujeito à condição inicial
C_A(0)=C_{A0}.
Informações relevantes listadas:
  • A equação de taxa é \;r_A=-k C_A^2\;.
  • A condição inicial é \;C_A(0)=C_{A0}\;.
  • Precisamos expressar C_A como função do tempo t.

Passo 2

Definindo o balanço material para um sistema batelada (tanque fechado, bem misturado, sem entrada nem saída), o balanço para A é
\frac{dC_A}{dt}=r_A.
Aqui \;C_A(t)\; é a concentração molar de A no tempo t, \;dC_A/dt\; é a derivada temporal dessa concentração, e r_A é a velocidade volumétrica de consumo (já dada).

Passo 3

Substituímos a expressão dada para r_A no balanço:
\frac{dC_A}{dt}=-k C_A^2.
Essa é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem e autônoma.

Passo 4

Vamos resolver essa equação usando separação de variáveis (método: colocar termos envolvendo C_A de um lado e termos envolvendo t do outro). Dividindo ambos os lados por C_A^2 e multiplicando por dt, obtemos
\frac{dC_A}{C_A^2}=-k\,dt.
Explicando o raciocínio: isolamos dC_A sobre uma função de C_A para poder integrar em C_A, e o lado direito depende só de t, permitindo integração direta.

Passo 5

Agora integramos ambos os lados. Lembrete rápido de integração: para uma potência \;x^n com n\neq -1, temos \int x^n dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}. Aqui usamos n=-2, então
\int \frac{dC_A}{C_A^2}=\int C_A^{-2} dC_A = \frac{C_A^{-1}}{-1} = -\frac{1}{C_A}.
Integrando o lado direito obtemos -k t mais constante de integração C. Assim
-\frac{1}{C_A} = -k t + C.

Passo 6

Aplicamos a condição inicial para determinar a constante C. Em t=0 temos C_A=C_{A0}, então
-\frac{1}{C_{A0}} = -k\cdot 0 + C \quad\Rightarrow\quad C = -\frac{1}{C_{A0}}.

Passo 7

Voltando à solução geral e substituindo C:
-\frac{1}{C_A} = -k t -\frac{1}{C_{A0}}.
Multiplicando por -1
\frac{1}{C_A} = k t + \frac{1}{C_{A0}}.
Invertendo ambos os lados (assumindo C_A>0, o que é físico para concentrações) encontramos
C_A(t)=\frac{1}{k t + \dfrac{1}{C_{A0}}}.
Podemos também escrever de forma mais usual multiplicando numerador e denominador por C_{A0}:
C_A(t)=\frac{C_{A0}}{1 + k C_{A0} t}.

Passo 8

Interpretação curta e dica para prova: a expressão mostra que a concentração decai com o tempo como hipérbole. Uma consequência prática é que o tempo de meia-vida (tempo para C_A cair a metade de C_{A0}) é \;t_{1/2}=\dfrac{1}{k C_{A0}}\;, diferente do caso de primeira ordem (onde a meia-vida é constante independe de C_{A0}). Isso é útil para questões rápidas em prova.

Resposta

C_A(t)=\frac{C_{A0}}{1 + k C_{A0} t}

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