1^{\mathrm{a}} ) ( \mathbf{2 , 0} ) Um pequeno carrinho de laboratório, de massa \mathrm{m}=2,0 \mathrm{~kg}, é puxado em linha reta por um sistema eletromagnético experimental. Após certo tempo, o carrinho atinge uma velocidade de \mathrm{v}=3,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
a) Calcule a energia cinética do carrinho nesse instante.
b) Se a velocidade do carrinho dobrasse, qual seria sua nova energia cinética?
c) Explique com suas palavras o que esse resultado mostra sobre a relação entre a velocidade e a energia cinética.

Passo 1

O enunciado pede três coisas e nos dá algumas informações. Vou listar tudo com calma:
  • Perguntas:
    1. Calcular a energia cinética do carrinho no instante em que sua velocidade é 3,0\\ \mathrm{m/s}.
    2. Calcular a nova energia cinética se a velocidade do carrinho dobrar.
    3. Explicar, com palavras, o que esse resultado mostra sobre a relação entre velocidade e energia cinética.
  • Informações fornecidas:
    • Massa do carrinho: m = 2,0\\ \mathrm{kg}.
    • Velocidade inicial: v = 3,0\\ \mathrm{m/s}.
    • “Dobrar a velocidade” significa v' = 2\cdot v.

Passo 2

Apresento a fórmula que usamos para energia cinética e explico cada parte (aula curta e prática).
  • Fórmula (definição usada em quase todos os livros):
K = \frac{1}{2}\,m\,v^{2}
onde:
  • K é a energia cinética (em joules, \mathrm{J});
  • m é a massa do corpo (em \mathrm{kg});
  • v é a velocidade do corpo (em \mathrm{m/s});
  • o fator \tfrac{1}{2} aparece na dedução da fórmula (veja abaixo).
  • Por que essa fórmula? (derivação curta e didática)
    • Trabalho realizado por uma força resultante F quando o corpo se desloca é W=\int F\,dx.
    • Pela segunda lei de Newton F=ma.
    • Use a relação a = v\frac{dv}{dx} (isso vem de a=\frac{dv}{dt} e \frac{dx}{dt}=v, então \frac{dv}{dt}= \frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt}=v\frac{dv}{dx}).
    • Então:
    W=\int F\,dx = \int m a\,dx = m\int v\,dv
    • Integrando de velocidade zero até v:
    W = m\left[\tfrac{1}{2}v^{2}\right]_{0}^{v} = \tfrac{1}{2}m v^{2}.
    • Esse trabalho é justamente a energia cinética K. Ou seja, acelerar um corpo até v exige trabalho igual a \tfrac{1}{2}mv^{2}.
  • Unidade: checagem rápida
    • m tem unidade \mathrm{kg}, v^{2} tem unidade \mathrm{m^{2}/s^{2}}, logo m v^{2} tem unidade \mathrm{kg\cdot m^{2}/s^{2}}, que é o joule \mathrm{J}. Tudo consistente.

Passo 3

Agora calculo a energia cinética para a velocidade dada (letra a).
  • Substituindo m=2,0\\ \mathrm{kg} e v=3,0\\ \mathrm{m/s} na fórmula:
K = \frac{1}{2}\cdot 2,0\\ \mathrm{kg}\cdot (3,0\\ \mathrm{m/s})^{2}.
  • Faço as contas passo a passo:
    • Primeiro (3,0)^{2} = 9,0.
    • Depois \frac{1}{2}\cdot 2,0 = 1,0.
    • Então K = 1,0 \cdot 9,0 = 9,0.
  • Colocando unidade:
K = 9,0\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Agora a letra (b): energia cinética quando a velocidade dobra.
  • Velocidade dobrada:
v' = 2\cdot v = 2\cdot 3,0\\ \mathrm{m/s} = 6,0\\ \mathrm{m/s}.
  • Substituindo na fórmula:
K' = \frac{1}{2}\cdot 2,0\\ \mathrm{kg}\cdot (6,0\\ \mathrm{m/s})^{2}.
  • Cálculo passo a passo:
    • (6,0)^{2} = 36,0.
    • \frac{1}{2}\cdot 2,0 = 1,0.
    • K' = 1,0 \cdot 36,0 = 36,0.
  • Com unidade:
K' = 36,0\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Comparação e conclusão numérica (para reforçar a ideia).
  • Razão entre as energias:
\frac{K'}{K} = \frac{36,0\\ \mathrm{J}}{9,0\\ \mathrm{J}} = 4.
  • Isso também pode ser visto algebricamente:
\frac{K'}{K} = \frac{\tfrac{1}{2}m(2v)^{2}}{\tfrac{1}{2}m v^{2}} = \frac{(2v)^{2}}{v^{2}} = 4.

Passo 6

Interpretação física e resposta à pergunta (c), explicada de forma simples e intuitiva.
  • A energia cinética depende do quadrado da velocidade: K\propto v^{2}.
  • Consequência imediata: se você dobrar a velocidade ( v\to 2v), a energia cinética aumenta por um fator 2^{2}=4 (quadrupla).
  • Intuição: para aumentar a velocidade você precisa aplicar força durante um deslocamento; quanto maior a velocidade que você quer alcançar, mais trabalho é necessário — e esse trabalho cresce mais rápido que a velocidade porque aparece o quadrado.
  • Exemplo rápido: ir de 3,0\\ \mathrm{m/s} para 6,0\\ \mathrm{m/s} exige energia de 9,0\\ \mathrm{J} para chegar a 3,0\\ \mathrm{m/s} (a partir do repouso) e mais 27,0\\ \mathrm{J} para ir de 3,0 a 6,0 (porque 36,0-9,0=27,0); ou seja, ficar duas vezes mais rápido pede muito mais do que o dobro de energia.

Resposta

(a) 9,0\\ \mathrm{J}
(b) 36,0\\ \mathrm{J}
(c) A energia cinética é proporcional ao quadrado da velocidade; ao dobrar v a energia cinética quadruplica ( K\propto v^{2}).

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