• (1,0 \mathrm{p}) Seja f(x, y)=y^{3}-3 x^{2} y, mostre que
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=0

Passo 1

O enunciado dá a função \\ f(x,y)=y^{3}-3x^{2}y e pede para mostrar que a soma das segundas derivadas parciais em x e em y é zero.
Informações relevantes fornecidas:
f(x,y)=y^{3}-3x^{2}y.
A tarefa é verificar que a expressão \displaystyle\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} vale zero para todos os x,y.

Passo 2

O que é derivada parcial? Uma derivada parcial de f(x,y) em relação a x é a derivada quando tratamos y como constante. Ou seja, diferenciamos a expressão de f somente pelo efeito de x. A regra básica que vamos usar é a regra do poder: \displaystyle\frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}, e constantes multiplicativas saem da derivada. Agora calculamos a derivada parcial de f em relação a x:
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(y^{3}-3x^{2}y\bigr).
Aqui y^{3} é constante em relação a x, então sua derivada em x é 0. Para -3x^{2}y, y é constante multiplicativa, então
\frac{\partial f}{\partial x}=0 -3y\cdot\frac{d}{dx}(x^{2}) = -3y\cdot 2x = -6xy.

Passo 3

Agora derivamos novamente em relação a x para obter a segunda derivada parcial mista em x. Relembrando: ao derivar -6xy em relação a x tratamos y como constante:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(-6xy\bigr) = -6y\cdot\frac{d}{dx}(x) = -6y.
Aqui usei que \displaystyle\frac{d}{dx}x=1.

Passo 4

Agora calculamos a derivada parcial de f em relação a y. Nesta derivada tratamos x como constante. Partimos da função original:
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y^{3}-3x^{2}y\bigr).
Usando a regra do poder em y^{3} e tratando x^{2} como constante em -3x^{2}y, obtemos
\frac{\partial f}{\partial y}=3y^{2} -3x^{2}.
Expliquei: \displaystyle\frac{d}{dy}y^{3}=3y^{2} e \displaystyle\frac{d}{dy}(-3x^{2}y)=-3x^{2}\cdot\frac{d}{dy}y=-3x^{2}.

Passo 5

Agora derivamos novamente em relação a y para obter a segunda derivada parcial em y. Derivando cada termo de \,3y^{2}-3x^{2}\, em y, com x constante, temos
\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(3y^{2}-3x^{2}\bigr)=3\cdot 2y - 0 = 6y.
Aqui \displaystyle\frac{d}{dy}(3y^{2})=6y e \displaystyle\frac{d}{dy}(-3x^{2})=0 porque x^{2} é constante em relação a y.

Passo 6

Somando as duas segundas derivadas parciais que calculamos nos passos anteriores obtemos -6y (da segunda em x) mais 6y (da segunda em y). Esses dois termos se cancelam entre si, o que leva à conclusão pedida. Um comentário de prova: ao fazer isso na prova mostre claramente cada derivada parcial e a soma final (os termos se anulam).

Resposta

\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=0

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