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Seja
, mostre que
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para mostrar que a soma das segundas derivadas parciais em
e em
é zero.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
A tarefa é verificar que a expressão
vale zero para todos os
.
Passo 2
O que é derivada parcial? Uma derivada parcial de
em relação a
é a derivada quando tratamos
como constante. Ou seja, diferenciamos a expressão de
somente pelo efeito de
. A regra básica que vamos usar é a regra do poder:
, e constantes multiplicativas saem da derivada. Agora calculamos a derivada parcial de
em relação a
:
Aqui
é constante em relação a
, então sua derivada em
é
. Para
,
é constante multiplicativa, então
Passo 3
Agora derivamos novamente em relação a
para obter a segunda derivada parcial mista em
. Relembrando: ao derivar
em relação a
tratamos
como constante:
Aqui usei que
.
Passo 4
Agora calculamos a derivada parcial de
em relação a
. Nesta derivada tratamos
como constante. Partimos da função original:
Usando a regra do poder em
e tratando
como constante em
, obtemos
Expliquei:
e
.
Passo 5
Agora derivamos novamente em relação a
para obter a segunda derivada parcial em
. Derivando cada termo de
em
, com
constante, temos
Aqui
e
porque
é constante em relação a
.
Passo 6
Somando as duas segundas derivadas parciais que calculamos nos passos anteriores obtemos
(da segunda em
) mais
(da segunda em
). Esses dois termos se cancelam entre si, o que leva à conclusão pedida. Um comentário de prova: ao fazer isso na prova mostre claramente cada derivada parcial e a soma final (os termos se anulam).