- (
) Use diferenciais para aproximar
,
Passo 1
O enunciado pede aproximar o número
.\n
Informações dadas que são relevantes:
Informações dadas que são relevantes:
- A base é
. - O expoente é
, que está muito próximo de (a diferença é ).\n
Pergunta explícita: aproximar o valor deusando diferenciais.
Passo 2
Ideia intuitiva (só para entender o que vamos fazer): como o expoente
é muito próximo de
, podemos ver a função
e aproximar
por meio da aproximação linear (diferenciais) em torno de
. A diferença na exatidão virá do fato de usarmos a derivada em
e multiplicá-la pelo pequeno incremento
.
Passo 3
Lembrete didático sobre diferenciais/linearização:\n
Para uma função diferenciável , a aproximação linear (ou diferencial) em torno de
diz que, para um pequeno
,
Para uma função diferenciável
Aqui
é a derivada de
em
e
é o pequeno incremento. Essa fórmula vem da expansão em série de Taylor truncada na primeira ordem e é exatamente a noção de diferencial:
.
Passo 4
Calcular
e
para nossa função:\n
Definimos
Definimos
Derivando em relação a
(usa-se que a derivada de
é
):
Passo 5
Escolher o ponto de expansão e o incremento:\n
Tomamos porque
está próximo de
. O incremento é
Tomamos
Passo 6
Calcular
e
:\n
Primeiro
Primeiro
Vamos calcular
:\n
Agora a derivada em
:
Passo 7
Aproximar
de modo didático:\n
Usamos a série de Taylor para até a terceira ordem porque
é pequeno:
Usamos a série de Taylor para
Tomando
:
Calculemos os termos:
Somando:
(Esse valor já é muito próximo do valor verdadeiro
; a diferença é insignificante para a nossa aproximação com
.)
Passo 8
Calcular
numericamente:\n
Usamos e
:
Usamos
Agora multiplicamos passo a passo (explico de forma que você consiga reproduzir à mão):\n
Primeiro calcule .\n
A diferença entre e
é
. Então
Primeiro calcule
A diferença entre
Calculamos
(multiplicação direta ou usando regra da decomposição).\n
Subtraindo:
Subtraindo:
Passo 9
Aplicar a fórmula linear (diferencial) para obter a aproximação:\n
Usando
Usando
com
,
e
, temos
Calculando o incremento:
Logo
Passo 10
Avaliação da precisão (pequena verificação):\n
Podemos estimar o resto da aproximação linear usando a segunda derivada de . Para
,
Podemos estimar o resto da aproximação linear usando a segunda derivada de
Uma cota para o erro de primeira ordem (termo de Taylor de ordem 2) é
Como
é crescente, podemos usar
ou, mais simplesmente,
para estimativa grosseira. Usando
, e
, obtemos
ou seja, o erro é da ordem de
, totalmente desprezível para a nossa aproximação com as casas decimais que mostramos. Portanto a aproximação linear foi muito segura.