• ( \mathbf{2 , 0 p} ) Use diferenciais para aproximar 1.02^{3,001},

Passo 1

O enunciado pede aproximar o número 1,02^{3,001}.\n
Informações dadas que são relevantes:
  • A base é 1,02.
  • O expoente é 3,001, que está muito próximo de 3 (a diferença é 0,001).\n
    Pergunta explícita: aproximar o valor de 1,02^{3,001} usando diferenciais.

Passo 2

Ideia intuitiva (só para entender o que vamos fazer): como o expoente 3,001 é muito próximo de 3, podemos ver a função
g(t)=1,02^{t}
e aproximar g(3,001) por meio da aproximação linear (diferenciais) em torno de t_{0}=3. A diferença na exatidão virá do fato de usarmos a derivada em t_{0} e multiplicá-la pelo pequeno incremento \Delta t=0,001.

Passo 3

Lembrete didático sobre diferenciais/linearização:\n
Para uma função diferenciável g(t), a aproximação linear (ou diferencial) em torno de t_{0} diz que, para um pequeno \Delta t,
g(t_{0}+\Delta t)\approx g(t_{0})+g'(t_{0})\,\Delta t.
Aqui g'(t_{0}) é a derivada de g em t_{0} e \Delta t é o pequeno incremento. Essa fórmula vem da expansão em série de Taylor truncada na primeira ordem e é exatamente a noção de diferencial: dg=g'(t_{0})\,dt.

Passo 4

Calcular g(t) e g'(t) para nossa função:\n
Definimos
g(t)=1,02^{t}.
Derivando em relação a t (usa-se que a derivada de a^{t} é \ln(a)\,a^{t}):
g'(t)=\ln(1,02)\cdot 1,02^{t}.

Passo 5

Escolher o ponto de expansão e o incremento:\n
Tomamos t_{0}=3 porque 3,001 está próximo de 3. O incremento é
\Delta t = 3,001-3 = 0,001.

Passo 6

Calcular g(3) e g'(3):\n
Primeiro
g(3)=1,02^{3}.
Vamos calcular 1,02^{3}:\n
1,02^{2}=1,0404,
1,02^{3}=1,0404\cdot 1,02 = 1,061208.
Agora a derivada em 3:
g'(3)=\ln(1,02)\cdot 1,02^{3} = \ln(1,02)\cdot 1,061208.

Passo 7

Aproximar \ln(1,02) de modo didático:\n
Usamos a série de Taylor para \ln(1+x) até a terceira ordem porque x=0,02 é pequeno:
\ln(1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}+\cdots
Tomando x=0,02:
\ln(1,02)\approx 0,02-\frac{(0,02)^{2}}{2}+\frac{(0,02)^{3}}{3}.
Calculemos os termos:
0,02 = 0,02,
\frac{(0,02)^{2}}{2}=\frac{0,0004}{2}=0,0002,
\frac{(0,02)^{3}}{3}=\frac{0,000008}{3}\approx 0,0000026667.
Somando:
\ln(1,02)\approx 0,02-0,0002+0,0000026667 = 0,0198026667.
(Esse valor já é muito próximo do valor verdadeiro \ln(1,02)\approx 0,0198026273; a diferença é insignificante para a nossa aproximação com \Delta t=0,001.)

Passo 8

Calcular g'(3) numericamente:\n
Usamos \ln(1,02)\approx 0,0198026667 e 1,02^{3}=1,061208:
g'(3)\approx 0,0198026667\cdot 1,061208.
Agora multiplicamos passo a passo (explico de forma que você consiga reproduzir à mão):\n
Primeiro calcule 1,061208\cdot 0,02 = 0,02122416.\n
A diferença entre 0,02 e \ln(1,02) é 0,02-0,0198026667=0,0001973333. Então
1,061208\cdot 0,0198026667 = 1,061208\cdot 0,02 - 1,061208\cdot 0,0001973333.
Calculamos 1,061208\cdot 0,0001973333\approx 0,0002094475 (multiplicação direta ou usando regra da decomposição).\n
Subtraindo:
g'(3)\approx 0,02122416 - 0,0002094475 = 0,0210147125.

Passo 9

Aplicar a fórmula linear (diferencial) para obter a aproximação:\n
Usando
g(3,001)\approx g(3)+g'(3)\,\Delta t,
com g(3)=1,061208, g'(3)\approx 0,0210147125 e \Delta t=0,001, temos
g(3,001)\approx 1,061208 + 0,0210147125\cdot 0,001.
Calculando o incremento:
0,0210147125\cdot 0,001 = 0,0000210147125.
Logo
g(3,001)\approx 1,061208 + 0,0000210147125 = 1,0612290147125.

Passo 10

Avaliação da precisão (pequena verificação):\n
Podemos estimar o resto da aproximação linear usando a segunda derivada de g. Para g(t)=1,02^{t},
g''(t)=(\ln(1,02))^{2}\,1,02^{t}.
Uma cota para o erro de primeira ordem (termo de Taylor de ordem 2) é
\left|R\right|\le \frac{1}{2}\max_{t\in[3,3,001]}|g''(t)|\,(\Delta t)^{2}.
Como 1,02^{t} é crescente, podemos usar 1,02^{3,001} ou, mais simplesmente, 1,02^{3} para estimativa grosseira. Usando (\ln(1,02))^{2}\approx (0,0198027)^{2}\approx 0,00039214, e 1,02^{3}\approx 1,061208, obtemos
|R|\lesssim \tfrac{1}{2}\cdot 0,00039214\cdot 1,061208 \cdot (0,001)^{2}\approx 2\times 10^{-10},
ou seja, o erro é da ordem de 10^{-10}, totalmente desprezível para a nossa aproximação com as casas decimais que mostramos. Portanto a aproximação linear foi muito segura.

Resposta

1,0612290147125

Exercícios relacionados