Mostre, por indução que:
\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)}=1-\frac{1}{n+1}.

Passo 1

O enunciado dá a soma finita
\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)}
e pede que se mostre, por indução, que essa soma é igual a
1-\frac{1}{n+1}.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A soma é sobre os termos \dfrac{1}{k(k+1)} para k=1,2,\dots,n.
  • A igualdade a provar é
\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}=1-\frac{1}{n+1}.
O objetivo é provar essa igualdade para todo inteiro n\ge 1, usando indução.

Passo 2

Explicando rapidamente o método que vamos usar (indução matemática), de forma intuitiva e prática:
  • Primeiro mostramos que a igualdade vale para o caso inicial n=1 (base da indução).
  • Depois assumimos que a igualdade vale para um certo n=k (hipótese de indução).
  • A seguir mostramos que, sob essa hipótese, a igualdade também vale para n=k+1 (passo indutivo).
    Se conseguirmos esses dois passos, pelo princípio da indução matemática concluímos que vale para todo n\ge1.

Passo 3

Base da indução ( n=1). Avaliando os dois lados:
  • Lado esquerdo:
\sum_{k=1}^{1}\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{1\cdot 2}=\frac{1}{2}.
  • Lado direito:
1-\frac{1}{1+1}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.
Como os dois lados coincidem, a igualdade vale para n=1. A base está feita.

Passo 4

Antes do passo indutivo, uma identidade útil (explicar e provar): para todo inteiro m\ge1 vale
\frac{1}{m(m+1)}=\frac{1}{m}-\frac{1}{m+1}.
Prova da identidade: calcular o lado direito por fração comum,
\frac{1}{m}-\frac{1}{m+1}=\frac{m+1}{m(m+1)}-\frac{m}{m(m+1)}=\frac{(m+1)-m}{m(m+1)}=\frac{1}{m(m+1)}.
Essa escrita em diferença de frações mostra que cada termo é a diferença de dois termos consecutivos — isso vai gerar um efeito telescópico quando somarmos vários termos.

Passo 5

Ilustração rápida do efeito telescópico (para fixar a ideia): para n=3,
\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4} =\Big(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\Big)+\Big(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\Big)+\Big(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\Big).
Ao somar, as parcelas -\frac{1}{2} e +\frac{1}{2}, -\frac{1}{3} e +\frac{1}{3} cancelam, sobrando
\frac{1}{1}-\frac{1}{4}=1-\frac{1}{4},
exatamente a forma 1-\dfrac{1}{n+1} para n=3. Isso mostra concretamente o que vai acontecer em geral.

Passo 6

Passo indutivo (provar que se vale para n=k então vale para n=k+1).
Hipótese de indução: suponha que para algum k\ge1
\sum_{i=1}^{k}\frac{1}{i(i+1)}=1-\frac{1}{k+1}.
Queremos provar:
\sum_{i=1}^{k+1}\frac{1}{i(i+1)}=1-\frac{1}{k+2}.
Começamos escrevendo a soma até k+1 como soma até k mais o termo (k+1)-ésimo:
\sum_{i=1}^{k+1}\frac{1}{i(i+1)}=\sum_{i=1}^{k}\frac{1}{i(i+1)}+\frac{1}{(k+1)(k+2)}.
Usando a hipótese de indução, substituímos a soma até k:
\sum_{i=1}^{k+1}\frac{1}{i(i+1)}=\Big(1-\frac{1}{k+1}\Big)+\frac{1}{(k+1)(k+2)}.
Agora fazemos a conta passo a passo para simplificar o lado direito. Primeiro juntar as duas frações que envolvem k:
-\frac{1}{k+1}+\frac{1}{(k+1)(k+2)} =\frac{- (k+2) + 1}{(k+1)(k+2)}.
Explicando: para colocar as duas frações sobre o mesmo denominador multiplicamos -\dfrac{1}{k+1} por \dfrac{k+2}{k+2} obtendo -\dfrac{k+2}{(k+1)(k+2)}, e somamos com \dfrac{1}{(k+1)(k+2)}.
Continuando a simplificação do numerador:
- (k+2) + 1 = -k-1 = -(k+1).
Assim
-\frac{1}{k+1}+\frac{1}{(k+1)(k+2)} =\frac{-(k+1)}{(k+1)(k+2)}=-\frac{1}{k+2}.
Voltando à expressão completa:
\sum_{i=1}^{k+1}\frac{1}{i(i+1)}=1-\frac{1}{k+2}.
Isso é exatamente a fórmula desejada para n=k+1. Assim o passo indutivo está provado.

Passo 7

Conclusão final pelo princípio da indução matemática: como a igualdade vale para n=1 (Passo 3) e o passo indutivo foi mostrado (Passo 6), a igualdade vale para todo inteiro n\ge1. Boa! A prova por indução está completa.

Resposta

\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)}=1-\frac{1}{n+1}

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