Mostre, por indução que:
.
Passo 1
O enunciado dá a soma finita
e pede que se mostre, por indução, que essa soma é igual a
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- A soma é sobre os termos
para . - A igualdade a provar é
O objetivo é provar essa igualdade para todo inteiro
, usando indução.
Passo 2
Explicando rapidamente o método que vamos usar (indução matemática), de forma intuitiva e prática:
- Primeiro mostramos que a igualdade vale para o caso inicial
(base da indução). - Depois assumimos que a igualdade vale para um certo
(hipótese de indução). - A seguir mostramos que, sob essa hipótese, a igualdade também vale para
(passo indutivo).
Se conseguirmos esses dois passos, pelo princípio da indução matemática concluímos que vale para todo.
Passo 3
Base da indução (
). Avaliando os dois lados:
- Lado esquerdo:
- Lado direito:
Como os dois lados coincidem, a igualdade vale para
. A base está feita.
Passo 4
Antes do passo indutivo, uma identidade útil (explicar e provar): para todo inteiro
vale
Prova da identidade: calcular o lado direito por fração comum,
Essa escrita em diferença de frações mostra que cada termo é a diferença de dois termos consecutivos — isso vai gerar um efeito telescópico quando somarmos vários termos.
Passo 5
Ilustração rápida do efeito telescópico (para fixar a ideia): para
,
Ao somar, as parcelas
e
,
e
cancelam, sobrando
exatamente a forma
para
. Isso mostra concretamente o que vai acontecer em geral.
Passo 6
Passo indutivo (provar que se vale para
então vale para
).
Hipótese de indução: suponha que para algum
Queremos provar:
Começamos escrevendo a soma até
como soma até
mais o termo
-ésimo:
Usando a hipótese de indução, substituímos a soma até
:
Agora fazemos a conta passo a passo para simplificar o lado direito. Primeiro juntar as duas frações que envolvem
:
Explicando: para colocar as duas frações sobre o mesmo denominador multiplicamos
por
obtendo
, e somamos com
.
Continuando a simplificação do numerador:
Assim
Voltando à expressão completa:
Isso é exatamente a fórmula desejada para
. Assim o passo indutivo está provado.
Passo 7
Conclusão final pelo princípio da indução matemática: como a igualdade vale para
(Passo 3) e o passo indutivo foi mostrado (Passo 6), a igualdade vale para todo inteiro
. Boa! A prova por indução está completa.