(1,5 \mathrm{pt}) Esboce a curva de intersecção das superfícies e determine as equações paramétricas para a intersecção em termos do parâmetro x=t :
z=x^{2}+y^{2} e x-y=0

Passo 1

O enunciado dá duas superfícies: o paraboloide
z = x^2 + y^2
e o plano
x - y = 0.
Precisamos esboçar a curva de interseção delas e obter suas equações paramétricas assumindo x=t.

Passo 2

Do plano x - y = 0 segue que
y = x.
Ou seja, todos os pontos da interseção satisfazem y=x.

Passo 3

Substituindo y=x na equação do paraboloide, obtemos
z = x^2 + x^2 = 2x^2.

Passo 4

Para parametrizar, escolhemos x = t. Logo
y = t
e
z = 2t^2.

Passo 5

As equações paramétricas da curva de interseção são
x(t) = t,\quad y(t) = t,\quad z(t) = 2t^2.
Geometricamente, é uma parábola que fica contida no plano inclinado y=x e se abre para cima ao longo do eixo z.

Resposta

x(t) = t,\;y(t) = t,\;z(t) = 2t^2.

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