( 1,0 \mathrm{pt} ) Um grupo tem 10 pessoas. Quantas comissões de no mínimo 4 pessoas podem ser formadas, com as disponíveis?

Passo 1

O enunciado dá um grupo com 10 pessoas e pede: quantas comissões de no mínimo 4 pessoas podem ser formadas com essas pessoas?
Informações relevantes:
  • Total de pessoas disponíveis: 10.
  • Tamanho mínimo das comissões: 4.
  • A ordem dentro da comissão não importa (uma comissão é um conjunto de pessoas).
    A pergunta é: quantos subconjuntos distintos de tamanho k com k\ge 4 existem no conjunto de 10 pessoas?

Passo 2

Ferramenta básica que vamos usar: coeficiente binomial (combinações).
Definição e interpretação: o número de maneiras de escolher k pessoas dentre n (sem ordem) é dado por
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial de n) significa n!=n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot2\cdot1.
Explicação curta sobre por que isso funciona: n! conta todas as permutações dos n elementos; dividimos por k! porque a ordem entre os k escolhidos não importa, e por (n-k)! porque também não nos interessa a ordem dos não escolhidos.

Passo 3

Escolher a estratégia mais simples: somar \binom{10}{k} para k=4,5,\dots,10 é correto, mas é mais prático usar o complemento.
Raciocínio do complemento: o conjunto de todas as comissões possíveis (de qualquer tamanho, inclusive a vazia) corresponde a todos os subconjuntos do conjunto de 10 pessoas. O número total de subconjuntos é 2^{10} (cada pessoa tem duas opções: estar ou não estar na comissão).
Então o número de comissões com pelo menos 4 pessoas é
\text{(todas)} - \text{(com até 3 pessoas)} = 2^{10} - \sum_{k=0}^{3}\binom{10}{k}.é

Passo 4

Calcular o total de subconjuntos:
2^{10}.
Explicando: para cada uma das 10 pessoas escolhe-se incluir ou não, então 2\cdot2\cdot\ldots\cdot2 = 2^{10} possibilidades.

Passo 5

Calcular explicitamente as combinações pequenas ( k=0,1,2,3) usando a fórmula:
\binom{10}{0}=1
(ou seja, a comissão vazia).
\binom{10}{1}=10
(escolher uma pessoa dentre dez).
\binom{10}{2}=\frac{10\cdot9}{2\cdot1}=45.
\binom{10}{3}=\frac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2\cdot1}=\frac{720}{6}=120.
Somando os casos com até 3 pessoas:
\sum_{k=0}^{3}\binom{10}{k}=1+10+45+120=176.

Passo 6

Usando o complemento obtemos a quantidade desejada como a diferença entre todos os subconjuntos e os que têm até 3 pessoas:
2^{10}-176.

Resposta

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