(
) Um grupo tem 10 pessoas. Quantas comissões de no mínimo 4 pessoas podem ser formadas, com as disponíveis?
Passo 1
O enunciado dá um grupo com
pessoas e pede: quantas comissões de no mínimo
pessoas podem ser formadas com essas pessoas?
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- Total de pessoas disponíveis:
. - Tamanho mínimo das comissões:
. - A ordem dentro da comissão não importa (uma comissão é um conjunto de pessoas).
A pergunta é: quantos subconjuntos distintos de tamanhocom existem no conjunto de pessoas?
Passo 2
Ferramenta básica que vamos usar: coeficiente binomial (combinações).
Definição e interpretação: o número de maneiras de escolher pessoas dentre
(sem ordem) é dado por
Definição e interpretação: o número de maneiras de escolher
onde
(fatorial de
) significa
.
Explicação curta sobre por que isso funciona: conta todas as permutações dos
elementos; dividimos por
porque a ordem entre os
escolhidos não importa, e por
porque também não nos interessa a ordem dos não escolhidos.
Explicação curta sobre por que isso funciona:
Passo 3
Escolher a estratégia mais simples: somar
para
é correto, mas é mais prático usar o complemento.
Raciocínio do complemento: o conjunto de todas as comissões possíveis (de qualquer tamanho, inclusive a vazia) corresponde a todos os subconjuntos do conjunto de pessoas. O número total de subconjuntos é
(cada pessoa tem duas opções: estar ou não estar na comissão).
Então o número de comissões com pelo menos pessoas é
Raciocínio do complemento: o conjunto de todas as comissões possíveis (de qualquer tamanho, inclusive a vazia) corresponde a todos os subconjuntos do conjunto de
Então o número de comissões com pelo menos
Passo 4
Calcular o total de subconjuntos:
Explicando: para cada uma das
pessoas escolhe-se incluir ou não, então
possibilidades.
Passo 5
Calcular explicitamente as combinações pequenas (
) usando a fórmula:
(ou seja, a comissão vazia).
(escolher uma pessoa dentre dez).
Somando os casos com até
pessoas:
Passo 6
Usando o complemento obtemos a quantidade desejada como a diferença entre todos os subconjuntos e os que têm até
pessoas: