( 2,0 pts) Calcule o valor de:
\operatorname{sen}\left(15^{\circ}\right)-\cos \left(75^{\circ}\right)

Passo 1

O enunciado pede que se calcule o valor de \operatorname{sen}\left(15^{\circ}\right)-\cos\left(75^{\circ}\right).
Informações dadas:
  • O primeiro termo é \operatorname{sen}\left(15^{\circ}\right).
  • O segundo termo é \cos\left(75^{\circ}\right).
A pergunta é: qual é o valor numérico de \operatorname{sen}\left(15^{\circ}\right)-\cos\left(75^{\circ}\right)?

Passo 2

Usar uma identidade trigonométrica muito útil: para qualquer ângulo \theta vale
\sin(\theta)=\cos\!\left(90^{\circ}-\theta\right).
Explicação curta e intuitiva: no círculo unitário a coordenada y de um ponto corresponde a \sin do ângulo, e a coordenada x corresponde a \cos. Girar um ângulo \theta para a sua complementar 90^{\circ}-\theta troca essas coordenadas de modo que a componente x do complemento é a componente y do ângulo original, daí a identidade acima.

Passo 3

Aplicando a identidade com \theta=15^{\circ} obtemos
\sin\left(15^{\circ}\right)=\cos\!\left(90^{\circ}-15^{\circ}\right)=\cos\left(75^{\circ}\right).
Portanto os dois termos do enunciado são iguais.

Passo 4

Substituindo na expressão original:
\sin\left(15^{\circ}\right)-\cos\left(75^{\circ}\right)=\sin\left(15^{\circ}\right)-\sin\left(15^{\circ}\right)=0.

Passo 5

(verificação alternativa, opcional, para treinar fórmulas de ângulo soma/razão) Podemos também calcular explicitamente \sin\left(15^{\circ}\right) usando \sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b com a=45^{\circ}, b=30^{\circ}:
\sin\left(15^{\circ}\right)=\sin\left(45^{\circ}-30^{\circ}\right)=\sin45^{\circ}\cos30^{\circ}-\cos45^{\circ}\sin30^{\circ}.
Substituindo os valores conhecidos \sin45^{\circ}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \cos30^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \cos45^{\circ}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \sin30^{\circ}=\dfrac{1}{2}, temos
\sin\left(15^{\circ}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}.
E \cos\left(75^{\circ}\right)=\cos\left(45^{\circ}+30^{\circ}\right) pela fórmula do cosseno da soma dá o mesmo valor \dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}. Isso confirma a igualdade e o resultado 0.

Resposta

0

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