(
) - Uma película de óleo de 330 nm de espessura flutua na superficie da água. Os indices de refraçāo do óleo e da água são 1,5 e 1,33 , respectivamente. A superficie do óleo é iluminada por cima em incidência normal com luz branca. Qual(is) comprimento(s) de onda da luz na faixa do visivel ( 400 nm a 750 nm ) sāo mais fortemente refletidos?
Passo 1
Vou listar o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os dados do enunciado):
- Espessura da película:
. - Índice de refração do óleo (filme):
. - Índice de refração da água (substrato):
. - A superfície do óleo é iluminada por cima em incidência normal com luz branca (o meio superior é o ar, com índice
). - Faixa visível considerada: de
a .
O que se pergunta: quais comprimentos de onda, dentro da faixa visível, são mais fortemente refletidos pela película (ou seja, para quaisa interferência das reflexões é construtiva no feixe refletido).
Passo 2
Entendendo fisicamente o que ocorre (no esquema mental): a luz incidente do ar atinge a superfície ar→óleo; parte é refletida aí (reflexão 1) e parte é transmitida, vai até a interface óleo→água e aí parte é refletida (reflexão 2) voltando para cima. Essas duas ondas refletidas se somam e podem interferir construtiva ou destrutivamente, dependendo da diferença de fase entre elas. A diferença de fase tem duas contribuições:
- Diferença de caminho óptico dentro do filme: a luz que reflete na face inferior percorre ida e volta dentro do óleo, dando um atraso correspondente a um caminho óptico
. - Mudanças de fase ao refletir: ao refletir numa interface de índice menor para maior (como ar
→ óleo ) ocorre uma inversão de fase equivalente a uma fase extra de (meia onda). Ao refletir numa interface de índice maior para menor (óleo → água ) não ocorre essa inversão. Portanto, entre as duas reflexões há uma diferença de fase fixo de devido às reflexões.
Passo 3
Escrever matematicamente a condição de interferência para o feixe refletido (incidência normal):
- A diferença de fase total
entre as duas ondas refletidas vale
onde
é o comprimento de onda no ar (ou no vácuo) — estamos buscando esses
na faixa visível. Explicando as variáveis:
-
é o índice do filme ( ), -
é a espessura ( ), - o termo
é a fase associada ao caminho ida-e-volta dentro do filme (a fase dentro do meio é obtida usando o comprimento de onda no vácuo dividido por ; aqui escrevemos diretamente em termos de no vácuo com o fator no caminho óptico), - o
é a inversão de fase ocorrida apenas na reflexão superior.
Para ocorrência de interferência construtiva no feixe refletido (máximo de intensidade refletida) precisamos queseja um múltiplo inteiro de :
Dividindo por
e isolando
chega-se a uma fórmula prática.
Passo 4
Resolver a equação para
:
Daí
(Outra forma equivalente, trocando o índice
por
, aparece frequentemente na literatura como
; as famílias de soluções são as mesmas.) Aqui
é inteiro e positivo para
. Agora substituímos os valores numéricos:
Portanto as soluções são
Passo 5
Calcular explicitamente os primeiros valores e ver quais caem na faixa visível
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
os valores ficam ainda menores (ultravioleta) e, portanto, fora da faixa .
Passo 6
Interpretação final e nota prática:
- A única solução que cai claramente dentro da faixa visível
é . Esse comprimento de onda será fortemente refletido (logo o filme tende a realçar o vermelho nessa espessura). - O próximo pico mais próximo (
) está ligeiramente fora da faixa visível inferior; o primeiro pico maior ( ) está bem no infravermelho e fora da visão.