( 2,0 \mathrm{pta} ) - Uma película de óleo de 330 nm de espessura flutua na superficie da água. Os indices de refraçāo do óleo e da água são 1,5 e 1,33 , respectivamente. A superficie do óleo é iluminada por cima em incidência normal com luz branca. Qual(is) comprimento(s) de onda da luz na faixa do visivel ( 400 nm a 750 nm ) sāo mais fortemente refletidos?
\begin{aligned} & h_{1} \cdot \sin \theta_{1}=h_{2} \cdot \sin \theta_{2} \\\ & 330 \cdot \sin \theta_{1}= \end{aligned}

Passo 1

Vou listar o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os dados do enunciado):
  • Espessura da película: d=330\\ \mathrm{nm}.
  • Índice de refração do óleo (filme): n_{\text{oil}}=1,5.
  • Índice de refração da água (substrato): n_{\text{water}}=1,33.
  • A superfície do óleo é iluminada por cima em incidência normal com luz branca (o meio superior é o ar, com índice n_{\text{ar}}\approx1,0).
  • Faixa visível considerada: de 400\\ \mathrm{nm} a 750\\ \mathrm{nm}.
    O que se pergunta: quais comprimentos de onda, dentro da faixa visível, são mais fortemente refletidos pela película (ou seja, para quais \lambda a interferência das reflexões é construtiva no feixe refletido).

Passo 2

Entendendo fisicamente o que ocorre (no esquema mental): a luz incidente do ar atinge a superfície ar→óleo; parte é refletida aí (reflexão 1) e parte é transmitida, vai até a interface óleo→água e aí parte é refletida (reflexão 2) voltando para cima. Essas duas ondas refletidas se somam e podem interferir construtiva ou destrutivamente, dependendo da diferença de fase entre elas. A diferença de fase tem duas contribuições:
  1. Diferença de caminho óptico dentro do filme: a luz que reflete na face inferior percorre ida e volta dentro do óleo, dando um atraso correspondente a um caminho óptico 2 n_{\text{oil}} d.
  2. Mudanças de fase ao refletir: ao refletir numa interface de índice menor para maior (como ar n\approx1 → óleo n=1,5) ocorre uma inversão de fase equivalente a uma fase extra de \pi (meia onda). Ao refletir numa interface de índice maior para menor (óleo 1,5 → água 1,33) não ocorre essa inversão. Portanto, entre as duas reflexões há uma diferença de fase fixo de \pi devido às reflexões.

Passo 3

Escrever matematicamente a condição de interferência para o feixe refletido (incidência normal):
  • A diferença de fase total \Delta\varphi entre as duas ondas refletidas vale
\Delta\varphi=\frac{2\pi}{\lambda}\,2 n_{\text{oil}} d + \pi,
onde \lambda é o comprimento de onda no ar (ou no vácuo) — estamos buscando esses \lambda na faixa visível. Explicando as variáveis:
  • n_{\text{oil}} é o índice do filme ( 1,5),
  • d é a espessura ( 330\\ \mathrm{nm}),
  • o termo \dfrac{2\pi}{\lambda}2n_{\text{oil}}d é a fase associada ao caminho ida-e-volta dentro do filme (a fase dentro do meio é obtida usando o comprimento de onda no vácuo dividido por n; aqui escrevemos diretamente em termos de \lambda no vácuo com o fator n no caminho óptico),
  • o +\pi é a inversão de fase ocorrida apenas na reflexão superior.
    Para ocorrência de interferência construtiva no feixe refletido (máximo de intensidade refletida) precisamos que \Delta\varphi seja um múltiplo inteiro de 2\pi:
\frac{2\pi}{\lambda}\,2 n_{\text{oil}} d + \pi = 2\pi m,\qquad m\in\mathbb{Z}.
Dividindo por 2\pi e isolando \lambda chega-se a uma fórmula prática.

Passo 4

Resolver a equação para \lambda:
\frac{2 n_{\text{oil}} d}{\lambda} + \tfrac{1}{2} = m \quad\Rightarrow\quad \frac{2 n_{\text{oil}} d}{\lambda} = m-\tfrac{1}{2}.
Daí
\lambda = \frac{2 n_{\text{oil}} d}{m-\tfrac{1}{2}} = \frac{4 n_{\text{oil}} d}{2m-1}.
(Outra forma equivalente, trocando o índice m por m' = m-1, aparece frequentemente na literatura como \lambda=\dfrac{4 n d}{2m+1}; as famílias de soluções são as mesmas.) Aqui m é inteiro e positivo para \lambda>0. Agora substituímos os valores numéricos:
4 n_{\text{oil}} d = 4\cdot 1{,}5 \cdot 330\\ \mathrm{nm} = 4 \cdot 495\\ \mathrm{nm} = 1980\\ \mathrm{nm}.
Portanto as soluções são
\lambda_m=\frac{1980\\ \mathrm{nm}}{2m-1},\qquad m=1,2,3,\dots

Passo 5

Calcular explicitamente os primeiros valores e ver quais caem na faixa visível 400\text{ nm}\le\lambda\le750\text{ nm}:
  • Para m=1:
\lambda_1=\frac{1980}{1}=1980\\ \mathrm{nm}\quad(\text{infravermelho, fora da faixa visível}).í
  • Para m=2:
\lambda_2=\frac{1980}{3}=660\\ \mathrm{nm}\quad(\text{na faixa visível; vermelho}).í
  • Para m=3:
\lambda_3=\frac{1980}{5}=396\\ \mathrm{nm}\quad(\text{próximo ao ultraviolet a }396\\ \mathrm{nm};\\ \text{ligeiramente abaixo de }400\\ \mathrm{nm},\\ \text{logo fora da faixa visível dada}).óí
  • Para m\ge4 os valores ficam ainda menores (ultravioleta) e, portanto, fora da faixa 400\text{--}750\\ \mathrm{nm}.

Passo 6

Interpretação final e nota prática:
  • A única solução que cai claramente dentro da faixa visível 400\text{--}750\\ \mathrm{nm} é \lambda=660\\ \mathrm{nm}. Esse comprimento de onda será fortemente refletido (logo o filme tende a realçar o vermelho nessa espessura).
  • O próximo pico mais próximo ( 396\\ \mathrm{nm}) está ligeiramente fora da faixa visível inferior; o primeiro pico maior ( 1980\\ \mathrm{nm}) está bem no infravermelho e fora da visão.

Resposta

\,660\\ \mathrm{nm}

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