( 0,4 \mathrm{pts} ) Calcule a função derivada das funções abaixo:
f(x)=(x)^{\frac{1}{x}} para x>0

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
f(x)=x^{\tfrac{1}{x}}
para x>0. Vamos usar as ideias de reescrever a função como exponencial, aplicar a derivada de logaritmo (regra do quociente) e depois a regra da cadeia.

Passo 2

Reescrevemos f(x) em termos de exponencial:
f(x)=x^{\tfrac{1}{x}}=e^{\ln\bigl(x^{\tfrac{1}{x}}\bigr)}=e^{\frac{\ln x}{x}}.
Seja
g(x)=\frac{\ln x}{x},
então f(x)=e^{g(x)}.

Passo 3

Calculamos g'(x) usando a regra do quociente em
\displaystyle g(x)=\frac{\ln x}{x}:
g'(x) =\frac{\bigl(\frac{d}{dx}\ln x\bigr)\cdot x-\ln x\cdot\bigl(\frac{d}{dx}x\bigr)}{x^2} =\frac{\tfrac{1}{x}\cdot x-\ln x\cdot1}{x^2} =\frac{1-\ln x}{x^2}.

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia em
\displaystyle f(x)=e^{g(x)}:
f'(x)=e^{g(x)}\cdot g'(x) =x^{\tfrac{1}{x}}\cdot\frac{1-\ln x}{x^2}.

Resposta

f'(x)=x^{\tfrac{1}{x}}\;\frac{1-\ln x}{x^2}.

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