(0,2 pts) Calcule a reta tangente à curva definida pela equação
\operatorname{sen}\left(y+x^{2}\right)=\frac{\pi}{2}-y+1
no ponto \left(0, \frac{\pi}{2}\right).

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à curva definida implicitamente por
\sin\bigl(y + x^{2}\bigr) = \frac{\pi}{2} - y + 1
no ponto \bigl(0,\tfrac{\pi}{2}\bigr). O conteúdo que vamos usar é a diferenciação implícita para encontrar \tfrac{dy}{dx} e depois montar a equação da reta tangente.

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x, lembrando que y é função de x, temos
\frac{d}{dx}\Bigl[\sin\bigl(y+x^{2}\bigr)\Bigr] = \frac{d}{dx}\Bigl[\tfrac{\pi}{2}-y+1\Bigr].
No lado esquerdo, pela regra da cadeia,
\cos\bigl(y+x^{2}\bigr)\,\bigl(y' + 2x\bigr),
e no lado direito
0 - y' + 0 = -y'.
Portanto a equação é
\cos\bigl(y+x^{2}\bigr)\,(y' + 2x) = -\,y'.

Passo 3

Isolando y', escrevemos
\cos\bigl(y+x^{2}\bigr)\,y' + 2x\cos\bigl(y+x^{2}\bigr) = -\,y',
y'\bigl[\cos\bigl(y+x^{2}\bigr) + 1\bigr] = -\,2x\cos\bigl(y+x^{2}\bigr),
y' = \frac{-\,2x\cos\bigl(y+x^{2}\bigr)}{\cos\bigl(y+x^{2}\bigr) + 1}.

Passo 4

Agora avaliamos em x=0 e y=\tfrac{\pi}{2}. Observe que
y + x^{2} = \frac{\pi}{2} + 0 = \frac{\pi}{2}, \quad \cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0.
Logo o numerador é -2\cdot 0\cdot 0 = 0 e o denominador é 0+1=1, de onde
y'(0)=0.
Isso significa que a reta tangente é horizontal.

Passo 5

A equação da reta tangente no ponto \bigl(0,\tfrac{\pi}{2}\bigr) com coeficiente angular m=0 é
y - \frac{\pi}{2} = 0\,(x - 0),
ou simplesmente
y = \frac{\pi}{2}.

Resposta

A reta tangente é
y = \frac{\pi}{2}.

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