( 0,3 \mathrm{pts} ) Calcule a reta tangente ao gráfico da função f(x)=\operatorname{senh}\left(x^{3}\right) que é paralela ao eixo das abscissas.

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente ao gráfico de
f(x)=\operatorname{senh}\bigl(x^{3}\bigr)
que seja paralela ao eixo das abscissas.
Para isso, precisamos encontrar o ponto em que a derivada f'(x) vale zero (já que reta paralela ao eixo x tem coeficiente angular nulo).

Passo 2

Calculemos f'(x) usando a regra da cadeia. Seja u(x)=x^3, então
f(x)=\operatorname{senh}\bigl(u(x)\bigr),
com
u'(x)=3x^2
e a derivada de \operatorname{senh}(u) é \operatorname{cosh}(u). Logo,
f'(x)=\operatorname{cosh}\bigl(x^3\bigr)\cdot 3x^2.

Passo 3

Para achar onde f'(x)=0, resolvemos
\operatorname{cosh}\bigl(x^3\bigr)\,3x^2 = 0.
Como \operatorname{cosh}\bigl(x^3\bigr)>0 para todo x, segue que
3x^2=0 \qquad\Longrightarrow\qquad x=0.

Passo 4

O ponto de tangência é \bigl(x_0,f(x_0)\bigr) com x_0=0. Então
y_0 = f(0) = \operatorname{senh}(0^3) = \operatorname{senh}(0) = 0.
O ponto é (0,0).

Passo 5

A reta tangente paralela ao eixo das abscissas passando por (0,0) é a reta horizontal
y = 0.

Resposta

A reta é
y=0.

Exercícios relacionados