( 4,0 \mathrm{pts} ) Considere o equilibrio descrito pela \mathrm{Reta} \mathrm{C}, \mathrm{MnO}_{2}(s) \rightleftharpoons \mathrm{Mn}^{2+}(a q) \quad E^{*}=+1,23 \mathrm{~V}. Utilizando a Equação de Nemst, DEDUZA a equação que descreve a Reta C.
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Resposta (a):
E=E^{o}-\frac{R \cdot T}{n \cdot F} \ln Q \quad \ln =2,303 \cdot \log \quad p H=-\log \left[H^{+}\right]

Passo 1

O enunciado pede que eu deduza a equação que descreve a Reta C utilizando a Equação de Nernst, para o equilíbrio indicado. Informações dadas no enunciado e suposições necessárias:
  • Equilíbrio (fornecido): \mathrm{MnO}_{2}(s) \rightleftharpoons \mathrm{Mn}^{2+}(aq) com potencial padrão indicado \;E^{*}=+1,23\\ \mathrm{V}.
  • Preciso usar a Equação de Nernst para obter a expressão de E em função das concentrações (e do pH, se aparecer).
  • O enunciado não especifica a temperatura; vou assumir a temperatura padrão T=298{,}15\\ \mathrm{K} (25 ºC), que é a hipótese usual nestes problemas, a menos que seja dito o contrário.
  • Constantes que usarei: constante dos gases R, Faraday F e a relação \ln=2{,}303\cdot\log_{10}. Além disso usarei a definição pH=-\log_{10}[H^+].

Passo 2

Encontrar a meia-reação balanceada (reação redutora) e o número de elétrons envolvidos.
  • Vou escrever a meia-reação de redução conhecida em meio ácido: o manganês em \mathrm{MnO}_2 tem número de oxidação +4 e em \mathrm{Mn}^{2+} tem +2, portanto ganha 2 elétrons.
  • A meia-reação balanceada (em meio ácido) é
\mathrm{MnO}_2(s) + 4\,\mathrm{H}^+ + 2\,\mathrm{e}^- \longrightarrow \mathrm{Mn}^{2+} + 2\,\mathrm{H}_2\mathrm{O}.
  • Deste balanceamento obtemos n=2 (número de elétrons trocados) e vemos que as espécies em solução que entram no quociente de reação são \mathrm{Mn}^{2+} e \mathrm{H}^+. As fases sólidas ( \mathrm{MnO}_2) e o solvente ( \mathrm{H}_2\mathrm{O}) são omitidos do quociente de reação.

Passo 3

Escrever a Equação de Nernst geral e formular o quociente de reação Q.
  • A forma geral da Equação de Nernst é
E = E^{\circ} - \frac{R\,T}{n\,F}\,\ln Q,
onde:
  • E é o potencial da meia-célula nas condições atuais,
  • E^{\circ} é o potencial padrão (aqui dado E^{*}=+1{,}23\\ \mathrm{V}),
  • R é a constante dos gases ( 8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}),
  • T é a temperatura em kelvin,
  • n é o número de elétrons trocados ( n=2),
  • F é a constante de Faraday ( 96485\\ \mathrm{C\,mol^{-1}}),
  • Q é o quociente de reação.
  • Para a meia-reação acima, o quociente Q é (omitindo sólidos e água):
Q=\frac{[\mathrm{Mn}^{2+}]}{[\mathrm{H}^+]^{4}}.
  • Substituindo em Nernst:
E = E^{\circ} - \frac{R\,T}{2\,F}\,\ln\!\left(\frac{[\mathrm{Mn}^{2+}]}{[\mathrm{H}^+]^{4}}\right).

Passo 4

Manipular algebricamente a expressão e introduzir pH e a conversão \ln \to \log_{10}.
  • Expandindo o logaritmo:
E = E^{\circ} - \frac{R\,T}{2\,F}\,\Big(\ln[\mathrm{Mn}^{2+}] - 4\ln[\mathrm{H}^+]\Big).
  • Usando \ln x = 2{,}303\cdot\log_{10} x e pH = -\log_{10}[\mathrm{H}^+], temos \ln[\mathrm{H}^+] = 2{,}303\cdot\log_{10}[\mathrm{H}^+] = -2{,}303\cdot pH.
  • Aplicando essas relações:
E = E^{\circ} - \frac{R\,T}{2\,F}\,2{,}303\Big(\log_{10}[\mathrm{Mn}^{2+}] - 4\log_{10}[\mathrm{H}^+]\Big).
E = E^{\circ} - \frac{2{,}303\,R\,T}{2\,F}\,\log_{10}[\mathrm{Mn}^{2+}] + \frac{2{,}303\,R\,T}{2\,F}\cdot 4\log_{10}[\mathrm{H}^+].
E = E^{\circ} - \frac{2{,}303\,R\,T}{2\,F}\,\log_{10}[\mathrm{Mn}^{2+}] - \frac{2{,}303\,R\,T}{2\,F}\cdot 4\,pH.

Passo 5

Substituir valores a T=298{,}15\\ \mathrm{K} e calcular os coeficientes numéricos (forma prática).
  • A constante prática conhecida a 25^\circ\mathrm{C} é \dfrac{2{,}303\,R\,T}{F}\approx 0{,}05916\\ \mathrm{V}. Assim, para n=2 temos \dfrac{2{,}303\,R\,T}{2F}\approx 0{,}02958\\ \mathrm{V}.
  • Substituindo na expressão obtida:
E = E^{\circ} - 0{,}02958\log_{10}[\mathrm{Mn}^{2+}] - (4\cdot 0{,}02958)\,pH.
  • Calculando 4\cdot 0{,}02958 = 0{,}11832, obtemos a forma final numérica:
E = E^{\circ} - 0{,}02958\log_{10}[\mathrm{Mn}^{2+}] - 0{,}11832\,pH.
  • Como E^{\circ} no enunciado foi dado como E^{*}=+1{,}23\\ \mathrm{V}, podemos substituir esse valor se quisermos a equação com o intercepto numérico.

Resposta

E = E^{\circ} - \frac{R\,T}{2\,F}\,\ln\!\left(\frac{[\mathrm{Mn}^{2+}]}{[\mathrm{H}^+]^{4}}\right)
E = +1{,}23\;-\;0{,}02958\,\log_{10}[\mathrm{Mn}^{2+}]\;-\;0{,}11832\;pH

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