( 0,5 \mathrm{pts} ) Considere a função abaixo e responda:
f(x)=\left\{\begin{array}{cl} 1-x+e^{(x-1)} \cdot \operatorname{sen}(x-1) & , \text { se } x<1 \\\ b & , \text { se } x=1 \\\ \frac{\operatorname{sen}^{2}(x-1)}{x-1} & , \text { se } x>1 \end{array}\right.
(a) Para que valores de b a função f é contínua em 1 ?
(b) Para os valores de b encontrados no item anterior, f é diferenciável em 1 ?

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} 1 - x + e^{\,x-1}\,\sin(x-1), & x<1,\\\ b, & x=1,\\\ \dfrac{\sin^2(x-1)}{x-1}, & x>1, \end{cases}
e pede em (a) os valores de b que tornam f contínua em x=1 (conteúdo: continuidade via limites laterais) e em (b) verificar se, para esses b, f é diferenciável em x=1 (conteúdo: derivada pelo limite do quociente incremental).

Passo 2

Para a continuidade em x=1 precisamos de
\lim_{x\to1^-}f(x) = f(1) = \lim_{x\to1^+}f(x).
Da esquerda, com h=x-1\to0^-:
\lim_{x\to1^-}f(x) =\lim_{h\to0^-}\bigl[1-(1+h)+e^{h}\sin h\bigr] =\lim_{h\to0^-}\bigl(-h+e^{h}\sin h\bigr).
Como \sin h\sim h e e^h\sim1, temos
e^{h}\sin h =h+O(h^2),
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-h+e^{h}\sin h = -h+(h+O(h^2)) = O(h^2)\to0.
Da direita, com t=x-1\to0^+:
\lim_{x\to1^+}f(x) =\lim_{t\to0^+}\frac{\sin^2 t}{t} =\lim_{t\to0^+}\Bigl(\frac{\sin t}{t}\Bigr)^2\,t =1^2\cdot0=0.
Para serem iguais a f(1)=b, é necessário
b=0.

Passo 3

Para a diferenciabilidade em x=1 com b=0 calculamos as derivadas laterais.
Da esquerda:
f(x)=1-x+e^{\,x-1}\sin(x-1) \quad\Longrightarrow\quad f'_-(1)=-1+\bigl[e^{\,x-1}\sin(x-1)+e^{\,x-1}\cos(x-1)\bigr]_{x=1}.
Em x=1 isso vale
-1+\bigl[e^0\cdot0 + e^0\cdot1\bigr] =-1+1=0.
Da direita, usando t=x-1:
f'_+(1) =\lim_{x\to1^+}\frac{f(x)-f(1)}{x-1} =\lim_{t\to0^+}\frac{\frac{\sin^2 t}{t}-0}{t} =\lim_{t\to0^+}\frac{\sin^2 t}{t^2} =1.
Como f'_-(1)=0\neq1=f'_+(1), f não é diferenciável em x=1.

Resposta

(a) b=0.
(b) Para b=0, f não é diferenciável em x=1.

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