Resolva cada equação diferencial por variação de parâmetro, respeitando as condições iniciais y(0)=1, y^{\prime}(0)=0. (1 / 4) y^{\prime \prime}+y^{\prime}+y=x^{2}-2 x
Passo 1
O enunciado pede para resolver por variação de parâmetros a equação
\frac{1}{4}y'' + y' + y = x^{2} - 2x
com condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=0.
Primeiro multiplicamos por 4 para colocar no formato padrão
y'' + 4y' + 4y = 4x^{2} - 8x.
O conteúdo envolve equações lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e método de variação de parâmetros.
Passo 2
Resolvemos a equação homogênea
y'' + 4y' + 4y = 0.
O polinômio característico é
r^{2} + 4r + 4 = (r + 2)^{2}=0,
que dá raiz dupla r=-2. Assim a solução geral homogênea é
onde y_{1}=e^{-2x}\) e \(y_{2}=x e^{-2x}\). Impomos o sistema
\[\begin{cases} u_{1}'\,y_{1} + u_{2}'\,y_{2} = 0,\\\ u_{1}'\,y_{1}'+u_{2}'\,y_{2}' = g(x), \end{cases}
em que (g(x)=4x^{2}-8x]. Calculamos o wronskiano W = \begin{vmatrix} y_{1} & y_{2}\\\ y_{1}' & y_{2}' \end{vmatrix} = e^{-2x}\cdot\bigl((1-2x)e^{-2x}\bigr)\;-\;\bigl(-2e^{-2x}\bigr)\cdot\bigl(xe^{-2x}\bigr) = e^{-4x}.