Resolva cada equação diferencial por variação de parâmetro, respeitando as condições iniciais y(0)=1, y^{\prime}(0)=0.
(1 / 4) y^{\prime \prime}+y^{\prime}+y=x^{2}-2 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver por variação de parâmetros a equação
\frac{1}{4}y'' + y' + y = x^{2} - 2x
com condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=0.
Primeiro multiplicamos por 4 para colocar no formato padrão
y'' + 4y' + 4y = 4x^{2} - 8x.
O conteúdo envolve equações lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e método de variação de parâmetros.

Passo 2

Resolvemos a equação homogênea
y'' + 4y' + 4y = 0.
O polinômio característico é
r^{2} + 4r + 4 = (r + 2)^{2}=0,
que dá raiz dupla r=-2. Assim a solução geral homogênea é
y_{h}(x) = C_{1}e^{-2x} + C_{2}\,x e^{-2x}.

Passo 3

Para a variação de parâmetros buscamos
y_{p}(x) = u_{1}(x)\,y_{1}(x) + u_{2}(x)\,y_{2}(x),
onde y_{1}=e^{-2x}\) e \(y_{2}=x e^{-2x}\). Impomos o sistema \[\begin{cases} u_{1}'\,y_{1} + u_{2}'\,y_{2} = 0,\\\ u_{1}'\,y_{1}'+u_{2}'\,y_{2}' = g(x), \end{cases}
em que (g(x)=4x^{2}-8x]. Calculamos o wronskiano
W = \begin{vmatrix} y_{1} & y_{2}\\\ y_{1}' & y_{2}' \end{vmatrix} = e^{-2x}\cdot\bigl((1-2x)e^{-2x}\bigr)\;-\;\bigl(-2e^{-2x}\bigr)\cdot\bigl(xe^{-2x}\bigr) = e^{-4x}.

Passo 4

As fórmulas de variação de parâmetros dão
u_{1}' = -\frac{g(x)\,y_{2}}{W} = -\frac{(4x^{2}-8x)\,x e^{-2x}}{e^{-4x}} = \bigl(-4x^{3}+8x^{2}\bigr)e^{2x},
u_{2}' = \frac{g(x)\,y_{1}}{W} = \frac{(4x^{2}-8x)\,e^{-2x}}{e^{-4x}} = \bigl(4x^{2}-8x\bigr)e^{2x}.
Integramos term a term (desprezando constantes de integração pois buscamos um particular):
u_{1}(x) =\int\bigl(-4x^{3}+8x^{2}\bigr)e^{2x}\,dx =e^{2x}\bigl(-2x^{3}+7x^{2}-7x+\tfrac72\bigr),
u_{2}(x) =\int\bigl(4x^{2}-8x\bigr)e^{2x}\,dx =e^{2x}\bigl(2x^{2}-6x+3\bigr).
Logo um particular é
y_{p}=u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2} =\bigl(-2x^{3}+7x^{2}-7x+\tfrac72\bigr) +\;x\bigl(2x^{2}-6x+3\bigr) =x^{2}-4x+\tfrac72.

Passo 5

A solução geral é
y(x)=y_{h}+y_{p} =C_{1}e^{-2x}+C_{2}\,x e^{-2x}+x^{2}-4x+\tfrac72.
Impondo y(0)=1 e y'(0)=0:
y(0)=C_{1}+\tfrac72=1\quad\Longrightarrow\quad C_{1}=-\tfrac52,
y'(x)=-2C_{1}e^{-2x}+C_{2}e^{-2x}-2C_{2}x e^{-2x}+2x-4 \;\Longrightarrow\; y'(0)=-2C_{1}+C_{2}-4=0 \;\Longrightarrow\; C_{2}=-1.

Resposta

\boxed{\,y(x)=-\tfrac52\,e^{-2x}-x\,e^{-2x}+x^{2}-4x+\tfrac72\,}.

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