( 3,0 \mathrm{pts} ) Encontre os níveis de energia e as funções de onda de quatro partículas distinguíveis, com spin, deslocando-se em um poço de potencial infinito de tamanho a. Use o resultado para inferir a energia e as funções de onda do estado fundamental e do primeiro estado excitado se as partículas forem indistinguíveis, bósons e férmions.

Passo 1

O enunciado pede que eu determine os níveis de energia e as funções de onda para quatro partículas que se movem num poço de potencial infinito de comprimento a. As condições/infos relevantes do enunciado são:
  • São quatro partículas não interagentes confinadas no mesmo poço infinito de largura a.
  • As partículas têm spin (vou assumir o caso mais comum em exercícios: spin 1/2, ou seja, cada partícula tem duas possíveis projeções de spin, que chamarei de \uparrow e \downarrow). Não faço essa escolha arbitrariamente para complicar: com spin 1/2 aparece claramente a diferença entre bósons e férmions indistinguíveis quando consideramos simetrização/anti-simetrização combinando parte espacial e parte de spin.
  • Primeiro: tratar as quatro partículas como distinguíveis (cada uma tem coordenada x_i e seu próprio índice). Depois: inferir o estado fundamental e o primeiro excitado quando as partículas são indistinguíveis, para o caso de bósons e de férmions.
  • O objetivo final exigido: energias e funções de onda do estado fundamental e do primeiro estado excitado nos três cenários (distinguíveis, indistinguíveis bósons, indistinguíveis férmions).

Passo 2

Vou lembrar e explicar a solução de uma partícula no poço infinito (essa é a base para construir os estados de várias partículas).
Resultado padrão (uma partícula, massa m, poço 0<x<a, paredes infinitas):
\text{autofunções espaciais: }\psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin\!\bigg(\frac{n\pi x}{a}\bigg),\qquad n=1,2,3,\dotsçõ
\text{autovalores de energia: }E_n=\frac{\hbar^{2}\pi^{2}n^{2}}{2ma^{2}}.
Explicação curta e didática:
  • As condições de contorno são \psi(0)=\psi(a)=0. Resolvendo a equação de Schrödinger estacionária obtemos modos senoidais quantizados com número inteiro n.
  • A constante de normalização \sqrt{2/a} garante \int_0^a|\psi_n(x)|^2dx=1.
  • A energia cresce como n^2: o nível n=1 é o mais baixo, n=2 é o próximo, etc.
Spin:
  • Cada partícula tem também uma função de spin \chi_{\sigma} com \sigma=\uparrow,\downarrow. Essas funções de spin são ortonormais: \langle\chi_{\uparrow}|\chi_{\uparrow}\rangle=1, \langle\chi_{\uparrow}|\chi_{\downarrow}\rangle=0.
Estados de uma partícula com spin combinam espaço e spin:
\Phi_{n,\sigma}(x,s)=\psi_n(x)\,\chi_{\sigma}(s),
onde s denota a variável interna de spin.

Passo 3

Construção dos estados de quatro partículas distinguíveis (não idênticas):
  • Para partículas distinguíveis não interagentes, o espaço total é produto tensorial dos espaços individuais. Estados próprios de energia são produtos das funções de uma partícula.
  • Se as partículas estão nos níveis n_1,n_2,n_3,n_4 e com spins \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3,\sigma_4, a função de onda total espacial+spin é
\Psi(x_1,s_1;x_2,s_2;x_3,s_3;x_4,s_4) =\Phi_{n_1,\sigma_1}(x_1,s_1)\,\Phi_{n_2,\sigma_2}(x_2,s_2)\, \Phi_{n_3,\sigma_3}(x_3,s_3)\,\Phi_{n_4,\sigma_4}(x_4,s_4).
  • A energia total é soma das energias individuais (sistema não interagente):
E_{\text{tot}}=E_{n_1}+E_{n_2}+E_{n_3}+E_{n_4}.
Observação sobre spin: a energia do poço infinito não depende do spin, então o spin só contribui para degeneração, não altera valores de energia.

Passo 4

Estado fundamental para quatro partículas distinguíveis:
  • Para minimizar a energia, cada partícula deve ocupar o menor n possível: n=1.
  • Portanto a configuração do estado fundamental (distinguíveis) é n_1=n_2=n_3=n_4=1.
  • Energia do estado fundamental:
E_{\text{GS}}^{\text{(dist)}}=4E_1=4\frac{\hbar^{2}\pi^{2}}{2ma^{2}}.
  • Função de onda do estado fundamental (produto direto):
\Psi_{\text{GS}}^{\text{(dist)}}(x_1,s_1;\dots;x_4,s_4) =\prod_{i=1}^{4}\psi_1(x_i)\,\chi_{\sigma_i}(s_i).
Observação didática: como as partículas são distinguíveis, posso escolher arbitrariamente os estados de spin \chi_{\sigma_i} (por exemplo todos \uparrow ou qualquer combinação); isso apenas gera degeneração de spin.

Passo 5

Primeiro estado excitado para quatro partículas distinguíveis:
  • Elevando apenas uma partícula para o próximo nível n=2 enquanto as outras ficam em n=1 dá a menor energia acima do fundamental.
  • Energia do primeiro excitado (distinguíveis):
E_{1}^{\text{(dist)}}=3E_1+E_2 =3\frac{\hbar^{2}\pi^{2}}{2ma^{2}}+\frac{\hbar^{2}\pi^{2}2^{2}}{2ma^{2}}.
  • Função de onda: escolha, por exemplo, a partícula 1 no nível n=2 e as demais em n=1:
\Psi_{1}^{\text{(dist)}}(x_1,s_1;\dots;x_4,s_4) =\psi_2(x_1)\psi_1(x_2)\psi_1(x_3)\psi_1(x_4)\, \chi_{\sigma_1}(s_1)\cdots\chi_{\sigma_4}(s_4).
  • Há degeneração: qualquer uma das 4 partículas pode ser a excitada, e cada escolha de estados de spin dá multiplicidade.

Passo 6

Agora passo para partículas indistinguíveis: conceitos importantes e estratégia prática.
Conceitos chave:
  • Para partículas indistinguíveis, a função de onda total (espacial × spin) deve ter simetria definida sob permutações:
    • Bósons: função de onda total simétrica sob troca de quaisquer duas partículas.
    • Férmions: função de onda total anti-simétrica (muda de sinal) sob troca.
  • “Total” significa: combinação da parte espacial e da parte de spin. Podemos ter parte espacial simétrica combinada com parte de spin simétrica etc., desde que o produto final tenha a simetria exigida.
  • Ferramenta prática:
    • Bósons sem degrau particular: estados com várias partículas no mesmo orbital são permitidos.
    • Férmions obedecem ao princípio de exclusão de Pauli: não podem ocupar o mesmo estado único (estado aqui = orbital espacial + estado de spin). Para spin 1/2, cada orbital espacial \psi_n tem duas possíveis projeções de spin, então no máximo 2 férmions podem ocupar o mesmo n (com spins \uparrow e \downarrow).

Passo 7

Estados de bósons indistinguíveis (assumindo possibilidade de usar spin para construir parte spin simétrica):
  • Estado fundamental (bósons): colocar todas as 4 partículas no menor orbital espacial n=1. Isso já é um estado espacial simétrico (produto \psi_1(x_1)\psi_1(x_2)\psi_1(x_3)\psi_1(x_4) é invariante por permutações).
  • Energia do estado fundamental (bósons):
E_{\text{GS}}^{\text{(bóson)}}=4E_1.ó
  • Função de onda total: como a parte espacial já é totalmente simétrica, basta escolher a parte de spin também simétrica para manter a simetria total. Um exemplo simples (normalizado separável) é tomar todos os spins iguais, por exemplo todos \uparrow:
\Psi_{\text{GS}}^{\text{(bóson)}}(x_1,s_1;\dots;x_4,s_4) =\prod_{i=1}^4\psi_1(x_i)\,\chi_{\uparrow}(s_i).ó
(Isto é simétrico sob troca de partículas.)
  • Primeiro estado excitado (bósons): promover uma partícula para n=2 e manter as outras três em n=1 é a configuração de menor energia acima do fundamental.
  • Energia do primeiro excitado (bósons):
E_{1}^{\text{(bóson)}}=3E_1+E_2.ó
  • Função de onda espacial deve ser simetrizada entre as quatro partículas. Uma forma normalizada (apenas espacial) é
\Psi_{\text{esp}}(x_1,\dots,x_4)=\frac{1}{\sqrt{4}}\Big(\psi_2(x_1)\psi_1(x_2)\psi_1(x_3)\psi_1(x_4) +\text{todas as permutações}\Big),çõ
onde o fator 1/\sqrt{4} é o ajuste de normalização para as 4 permutações distintas que colocam \psi_2 em uma das quatro coordenadas (se prestar atenção a possíveis permutações idênticas quando alguns orbitais repetem, o fator de normalização pode ser ajustado; aqui a forma esquemática mostra a ideia). A parte de spin deve ser escolhida de modo a manter simetria total (por exemplo todos os spins iguais). Resultado: bósons permitem ocupação múltipla do mesmo orbital, então as energias ficam iguais às do caso distinguível para esses níveis com ocupações idênticas.

Passo 8

Estados de férmions indistinguíveis (spin 1/2): regra prática e preenchimento do “nível de Fermi”.
  • Regra de Pauli: cada estado único \Phi_{n,\sigma} (combinação espacial n e spin \sigma) pode ser ocupado por no máximo uma partícula.
  • Para quatro férmions spin 1/2: preenchemos as menores energias possíveis considerando duas partículas por orbital espacial (uma com \uparrow e outra com \downarrow).
Estado fundamental (férmions):
  • Preenchimento mínimo:
    • dois férmions em n=1: (n=1,\uparrow) e (n=1,\downarrow),
    • dois férmions em n=2: (n=2,\uparrow) e (n=2,\downarrow).
  • Energia do estado fundamental (férmions):
E_{\text{GS}}^{\text{(férmion)}}=2E_1+2E_2.é
  • Forma da função de onda: anti-simetrizada. A forma padrão e compacta é o determinante de Slater de ordem 4 usando os orbitais-espín ocupados. Se eu chamar os ocupados \Phi_{1\uparrow},\Phi_{1\downarrow},\Phi_{2\uparrow},\Phi_{2\downarrow} (cada \Phi_{n\sigma}(x,s)=\psi_n(x)\chi_{\sigma}(s)), a função de onda total é
\Psi_{\text{GS}}^{\text{(férmion)}}(1,2,3,4)=\frac{1}{\sqrt{4!}} \begin{vmatrix} \Phi_{1\uparrow}(x_1,s_1) & \Phi_{1\uparrow}(x_2,s_2) & \Phi_{1\uparrow}(x_3,s_3) & \Phi_{1\uparrow}(x_4,s_4) \\\ \Phi_{1\downarrow}(x_1,s_1) & \Phi_{1\downarrow}(x_2,s_2) & \cdots & \Phi_{1\downarrow}(x_4,s_4) \\\ \Phi_{2\uparrow}(x_1,s_1) & \cdots & & \Phi_{2\uparrow}(x_4,s_4) \\\ \Phi_{2\downarrow}(x_1,s_1) & \cdots & & \Phi_{2\downarrow}(x_4,s_4) \end{vmatrix}.é
Esse determinante garante anti-simetria e normalização correta (fator 1/\sqrt{4!}).

Passo 9

Primeiro estado excitado para férmions (spin 1/2):
  • Partindo do preenchimento do estado fundamental (1\uparrow,1\downarrow,2\uparrow,2\downarrow), a menor excitação de energia consistente com a exclusão de Pauli é promover um dos férmions do nível n=2 para n=3 (promover do mesmo spin ou trocar spin — o que importa para energia é o número n).
  • Assim a configuração de menor energia acima do fundamental para férmions tem ocupações: n=1 com 2 partículas, n=2 com 1 partícula, n=3 com 1 partícula.
  • Energia do primeiro excitado (férmions):
E_{1}^{\text{(férmion)}}=2E_1+E_2+E_3.é
  • Forma da função de onda: novamente um Slater determinant usando quatro orbitais-espín ocupados, por exemplo \Phi_{1\uparrow},\Phi_{1\downarrow},\Phi_{2\uparrow},\Phi_{3\uparrow} (uma escolha concreta: promove-se o férmion que estava em \Phi_{2\downarrow} para \Phi_{3\uparrow}; há degenerações associadas a qual spin foi promovido). O determinante anti-simetriza apropriadamente:
\Psi_{1}^{\text{(férmion)}}(1,2,3,4)=\frac{1}{\sqrt{4!}} \begin{vmatrix} \Phi_{1\uparrow}(x_1,s_1) & \cdots & \Phi_{1\uparrow}(x_4,s_4) \\\ \Phi_{1\downarrow}(x_1,s_1) & \cdots & \Phi_{1\downarrow}(x_4,s_4) \\\ \Phi_{2\uparrow}(x_1,s_1) & \cdots & \Phi_{2\uparrow}(x_4,s_4) \\\ \Phi_{3\uparrow}(x_1,s_1) & \cdots & \Phi_{3\uparrow}(x_4,s_4) \end{vmatrix}.é
Comentário de verificação numérica rápida (usar \varepsilon=\dfrac{\hbar^{2}\pi^{2}}{2ma^{2}} para clareza):
  • E_n=\varepsilon n^2.
  • Férmion GS: E_{\text{GS}}^{\text{(férmion)}}=2\varepsilon(1^2)+2\varepsilon(2^2)=2\varepsilon+8\varepsilon=10\varepsiloné.
  • Férmion 1º excitado: 2\varepsilon(1^2)+\varepsilon(2^2)+\varepsilon(3^2)=2+4+9=15\varepsilon.
  • Distinguíveis GS: 4E_1=4\varepsilon. Distinguíveis 1º excitado: 3E_1+E_2=3\varepsilon+4\varepsilon=7\varepsilon.
  • Bósons GS e 1º excitado têm as mesmas energias que os casos distinguíveis para as mesmas configurações occupacionais: GS 4\varepsilon, 1º excitado 7\varepsilon.

Passo 10

Resumo prático e como usar isso na prova (dicas rápidas):
  • Sempre comece listando orbitais de uma partícula \psi_n e E_n.
  • Para partículas distinguíveis: monta produtos e soma de energias; qualquer partícula pode repetir orbital.
  • Para bósons indistinguíveis: procurar a configuração com menor soma de n^2 permitindo múltipla ocupação do mesmo orbital; depois simetrizar a função de onda espacial (somatório sobre permutações) e garantir parte de spin com simetria compatível.
  • Para férmions indistinguíveis (spin 1/2): aplicar a regra de Pauli a orbitais combinados (n,\sigma) e construir Determinante de Slater; preencher níveis a partir de n=1 até acomodar todas as partículas.
  • Normalização: produtos simples já normalizados pela normalização de cada orbital. Para estados simetrizados/anti-simetrizados usar os fatores \frac{1}{\sqrt{N_{\text{perms}}}} ou \frac{1}{\sqrt{N!}} no caso do determinante para garantir normalização.

Resposta

Distinguíveis — estado fundamental: E_{\text{GS}}^{\text{(dist)}}=4E_1=4\displaystyle\frac{\hbar^{2}\pi^{2}}{2ma^{2}}. \displaystyle \Psi_{\text{GS}}^{\text{(dist)}}=\prod_{i=1}^{4}\psi_1(x_i)\chi_{\sigma_i}(s_i).
Distinguíveis — primeiro excitado: E_{1}^{\text{(dist)}}=3E_1+E_2=3\displaystyle\frac{\hbar^{2}\pi^{2}}{2ma^{2}}+ \displaystyle\frac{\hbar^{2}\pi^{2}2^{2}}{2ma^{2}}. \displaystyle \Psi_{1}^{\text{(dist)}}=\psi_2(x_k)\prod_{i\ne k}\psi_1(x_i)\times escolha de spins (qualquer k\in\{1,2,3,4\}).
Bósons indistinguíveis — estado fundamental: E_{\text{GS}}^{\text{(bóson)}}=4E_1ó. \displaystyle \Psi_{\text{GS}}^{\text{(bóson)}}=\prod_{i=1}^4\psi_1(x_i)\chi_{\text{sim}}(s_1,\dots,s_4)ó (por exemplo todos spins \uparrow).
Bósons indistinguíveis — primeiro excitado: E_{1}^{\text{(bóson)}}=3E_1+E_2ó. Função de onda espacial simetrizada:
\Psi_{\text{esp}}(x_1,\dots,x_4)=\frac{1}{\sqrt{4}}\sum_{\text{perm}}\psi_2(x_{i_1})\psi_1(x_{i_2})\psi_1(x_{i_3})\psi_1(x_{i_4}),
com parte de spin simétrica apropriada.
Férmions indistinguíveis (spin 1/2) — estado fundamental: E_{\text{GS}}^{\text{(férmion)}}=2E_1+2E_2é. Função de onda: determinante de Slater com orbitais \Phi_{1\uparrow},\Phi_{1\downarrow},\Phi_{2\uparrow},\Phi_{2\downarrow},
\Psi_{\text{GS}}^{\text{(férmion)}}=\frac{1}{\sqrt{4!}} \begin{vmatrix} \Phi_{1\uparrow}(1)&\Phi_{1\uparrow}(2)&\Phi_{1\uparrow}(3)&\Phi_{1\uparrow}(4)\\\ \Phi_{1\downarrow}(1)&\Phi_{1\downarrow}(2)&\Phi_{1\downarrow}(3)&\Phi_{1\downarrow}(4)\\\ \Phi_{2\uparrow}(1)&\cdots&\cdots&\Phi_{2\uparrow}(4)\\\ \Phi_{2\downarrow}(1)&\cdots&\cdots&\Phi_{2\downarrow}(4) \end{vmatrix}.é
Férmions indistinguíveis (spin 1/2) — primeiro excitado: E_{1}^{\text{(férmion)}}=2E_1+E_2+E_3é. Função de onda: determinante de Slater correspondente à ocupação \{1\uparrow,1\downarrow,2\uparrow,3\sigma\} (ou análogas trocas de spin), por exemplo
\Psi_{1}^{\text{(férmion)}}=\frac{1}{\sqrt{4!}} \begin{vmatrix} \Phi_{1\uparrow}(1)&\cdots&\Phi_{1\uparrow}(4)\\\ \Phi_{1\downarrow}(1)&\cdots&\Phi_{1\downarrow}(4)\\\ \Phi_{2\uparrow}(1)&\cdots&\Phi_{2\uparrow}(4)\\\ \Phi_{3\uparrow}(1)&\cdots&\Phi_{3\uparrow}(4) \end{vmatrix}.é
(Usando \displaystyle E_n=\frac{\hbar^2\pi^2 n^2}{2ma^2}. Em termos de \varepsilon=\dfrac{\hbar^2\pi^2}{2ma^2}: E_{\text{GS}}^{\text{(dist)}}=4\varepsilon, E_{1}^{\text{(dist)}}=7\varepsilon; E_{\text{GS}}^{\text{(férmion)}}=10\varepsiloné, E_{1}^{\text{(férmion)}}=15\varepsiloné.)

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