( 3,0 \mathrm{pts} ) Encontre os níveis de energia e as funções de onda de quatro partículas distinguíveis, com spin, deslocando-se em um poço de potencial infinito de tamanho a. Use o resultado para inferir a energia e as funções de onda do estado fundamental e do primeiro estado excitado se as partículas forem indistinguíveis, bósons e férmions.
Passo 1
O enunciado pede que eu determine os níveis de energia e as funções de onda para quatro partículas que se movem num poço de potencial infinito de comprimento a. As condições/infos relevantes do enunciado são:
São quatro partículas não interagentes confinadas no mesmo poço infinito de largura a.
As partículas têm spin (vou assumir o caso mais comum em exercícios: spin 1/2, ou seja, cada partícula tem duas possíveis projeções de spin, que chamarei de \uparrow e \downarrow). Não faço essa escolha arbitrariamente para complicar: com spin 1/2 aparece claramente a diferença entre bósons e férmions indistinguíveis quando consideramos simetrização/anti-simetrização combinando parte espacial e parte de spin.
Primeiro: tratar as quatro partículas como distinguíveis (cada uma tem coordenada x_i e seu próprio índice). Depois: inferir o estado fundamental e o primeiro excitado quando as partículas são indistinguíveis, para o caso de bósons e de férmions.
O objetivo final exigido: energias e funções de onda do estado fundamental e do primeiro estado excitado nos três cenários (distinguíveis, indistinguíveis bósons, indistinguíveis férmions).
Passo 2
Vou lembrar e explicar a solução de uma partícula no poço infinito (essa é a base para construir os estados de várias partículas).
Resultado padrão (uma partícula, massa m, poço 0<x<a, paredes infinitas):
\text{autovalores de energia: }E_n=\frac{\hbar^{2}\pi^{2}n^{2}}{2ma^{2}}.
Explicação curta e didática:
As condições de contorno são \psi(0)=\psi(a)=0. Resolvendo a equação de Schrödinger estacionária obtemos modos senoidais quantizados com número inteiro n.
A constante de normalização \sqrt{2/a} garante \int_0^a|\psi_n(x)|^2dx=1.
A energia cresce como n^2: o nível n=1 é o mais baixo, n=2 é o próximo, etc.
Spin:
Cada partícula tem também uma função de spin \chi_{\sigma} com \sigma=\uparrow,\downarrow. Essas funções de spin são ortonormais: \langle\chi_{\uparrow}|\chi_{\uparrow}\rangle=1, \langle\chi_{\uparrow}|\chi_{\downarrow}\rangle=0.
Estados de uma partícula com spin combinam espaço e spin:
\Phi_{n,\sigma}(x,s)=\psi_n(x)\,\chi_{\sigma}(s),
onde s denota a variável interna de spin.
Passo 3
Construção dos estados de quatro partículas distinguíveis (não idênticas):
Para partículas distinguíveis não interagentes, o espaço total é produto tensorial dos espaços individuais. Estados próprios de energia são produtos das funções de uma partícula.
Se as partículas estão nos níveis n_1,n_2,n_3,n_4 e com spins \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3,\sigma_4, a função de onda total espacial+spin é
Observação didática: como as partículas são distinguíveis, posso escolher arbitrariamente os estados de spin \chi_{\sigma_i} (por exemplo todos \uparrow ou qualquer combinação); isso apenas gera degeneração de spin.
Passo 5
Primeiro estado excitado para quatro partículas distinguíveis:
Elevando apenas uma partícula para o próximo nível n=2 enquanto as outras ficam em n=1 dá a menor energia acima do fundamental.
Há degeneração: qualquer uma das 4 partículas pode ser a excitada, e cada escolha de estados de spin dá multiplicidade.
Passo 6
Agora passo para partículas indistinguíveis: conceitos importantes e estratégia prática.
Conceitos chave:
Para partículas indistinguíveis, a função de onda total (espacial × spin) deve ter simetria definida sob permutações:
Bósons: função de onda total simétrica sob troca de quaisquer duas partículas.
Férmions: função de onda total anti-simétrica (muda de sinal) sob troca.
“Total” significa: combinação da parte espacial e da parte de spin. Podemos ter parte espacial simétrica combinada com parte de spin simétrica etc., desde que o produto final tenha a simetria exigida.
Ferramenta prática:
Bósons sem degrau particular: estados com várias partículas no mesmo orbital são permitidos.
Férmions obedecem ao princípio de exclusão de Pauli: não podem ocupar o mesmo estado único (estado aqui = orbital espacial + estado de spin). Para spin 1/2, cada orbital espacial \psi_n tem duas possíveis projeções de spin, então no máximo 2 férmions podem ocupar o mesmo n (com spins \uparrow e \downarrow).
Passo 7
Estados de bósons indistinguíveis (assumindo possibilidade de usar spin para construir parte spin simétrica):
Estado fundamental (bósons): colocar todas as 4 partículas no menor orbital espacial n=1. Isso já é um estado espacial simétrico (produto \psi_1(x_1)\psi_1(x_2)\psi_1(x_3)\psi_1(x_4) é invariante por permutações).
Energia do estado fundamental (bósons):
E_{\text{GS}}^{\text{(bóson)}}=4E_1.
Função de onda total: como a parte espacial já é totalmente simétrica, basta escolher a parte de spin também simétrica para manter a simetria total. Um exemplo simples (normalizado separável) é tomar todos os spins iguais, por exemplo todos \uparrow:
Primeiro estado excitado (bósons): promover uma partícula para n=2 e manter as outras três em n=1 é a configuração de menor energia acima do fundamental.
Energia do primeiro excitado (bósons):
E_{1}^{\text{(bóson)}}=3E_1+E_2.
Função de onda espacial deve ser simetrizada entre as quatro partículas. Uma forma normalizada (apenas espacial) é
\Psi_{\text{esp}}(x_1,\dots,x_4)=\frac{1}{\sqrt{4}}\Big(\psi_2(x_1)\psi_1(x_2)\psi_1(x_3)\psi_1(x_4) +\text{todas as permutações}\Big),
onde o fator 1/\sqrt{4} é o ajuste de normalização para as 4 permutações distintas que colocam \psi_2 em uma das quatro coordenadas (se prestar atenção a possíveis permutações idênticas quando alguns orbitais repetem, o fator de normalização pode ser ajustado; aqui a forma esquemática mostra a ideia). A parte de spin deve ser escolhida de modo a manter simetria total (por exemplo todos os spins iguais). Resultado: bósons permitem ocupação múltipla do mesmo orbital, então as energias ficam iguais às do caso distinguível para esses níveis com ocupações idênticas.
Passo 8
Estados de férmions indistinguíveis (spin 1/2): regra prática e preenchimento do “nível de Fermi”.
Regra de Pauli: cada estado único \Phi_{n,\sigma} (combinação espacial n e spin \sigma) pode ser ocupado por no máximo uma partícula.
Para quatro férmions spin 1/2: preenchemos as menores energias possíveis considerando duas partículas por orbital espacial (uma com \uparrow e outra com \downarrow).
Estado fundamental (férmions):
Preenchimento mínimo:
dois férmions em n=1: (n=1,\uparrow) e (n=1,\downarrow),
dois férmions em n=2: (n=2,\uparrow) e (n=2,\downarrow).
Energia do estado fundamental (férmions):
E_{\text{GS}}^{\text{(férmion)}}=2E_1+2E_2.
Forma da função de onda: anti-simetrizada. A forma padrão e compacta é o determinante de Slater de ordem 4 usando os orbitais-espín ocupados. Se eu chamar os ocupados \Phi_{1\uparrow},\Phi_{1\downarrow},\Phi_{2\uparrow},\Phi_{2\downarrow} (cada \Phi_{n\sigma}(x,s)=\psi_n(x)\chi_{\sigma}(s)), a função de onda total é
Esse determinante garante anti-simetria e normalização correta (fator 1/\sqrt{4!}).
Passo 9
Primeiro estado excitado para férmions (spin 1/2):
Partindo do preenchimento do estado fundamental (1\uparrow,1\downarrow,2\uparrow,2\downarrow), a menor excitação de energia consistente com a exclusão de Pauli é promover um dos férmions do nível n=2 para n=3 (promover do mesmo spin ou trocar spin — o que importa para energia é o número n).
Assim a configuração de menor energia acima do fundamental para férmions tem ocupações: n=1 com 2 partículas, n=2 com 1 partícula, n=3 com 1 partícula.
Energia do primeiro excitado (férmions):
E_{1}^{\text{(férmion)}}=2E_1+E_2+E_3.é
Forma da função de onda: novamente um Slater determinant usando quatro orbitais-espín ocupados, por exemplo \Phi_{1\uparrow},\Phi_{1\downarrow},\Phi_{2\uparrow},\Phi_{3\uparrow} (uma escolha concreta: promove-se o férmion que estava em \Phi_{2\downarrow} para \Phi_{3\uparrow}; há degenerações associadas a qual spin foi promovido). O determinante anti-simetriza apropriadamente:
Bósons GS e 1º excitado têm as mesmas energias que os casos distinguíveis para as mesmas configurações occupacionais: GS 4\varepsilon, 1º excitado 7\varepsilon.
Passo 10
Resumo prático e como usar isso na prova (dicas rápidas):
Sempre comece listando orbitais de uma partícula \psi_n e E_n.
Para partículas distinguíveis: monta produtos e soma de energias; qualquer partícula pode repetir orbital.
Para bósons indistinguíveis: procurar a configuração com menor soma de n^2 permitindo múltipla ocupação do mesmo orbital; depois simetrizar a função de onda espacial (somatório sobre permutações) e garantir parte de spin com simetria compatível.
Para férmions indistinguíveis (spin 1/2): aplicar a regra de Pauli a orbitais combinados (n,\sigma) e construir Determinante de Slater; preencher níveis a partir de n=1 até acomodar todas as partículas.
Normalização: produtos simples já normalizados pela normalização de cada orbital. Para estados simetrizados/anti-simetrizados usar os fatores \frac{1}{\sqrt{N_{\text{perms}}}} ou \frac{1}{\sqrt{N!}} no caso do determinante para garantir normalização.
Resposta
Distinguíveis — estado fundamental: E_{\text{GS}}^{\text{(dist)}}=4E_1=4\displaystyle\frac{\hbar^{2}\pi^{2}}{2ma^{2}}. \displaystyle \Psi_{\text{GS}}^{\text{(dist)}}=\prod_{i=1}^{4}\psi_1(x_i)\chi_{\sigma_i}(s_i).
Distinguíveis — primeiro excitado: E_{1}^{\text{(dist)}}=3E_1+E_2=3\displaystyle\frac{\hbar^{2}\pi^{2}}{2ma^{2}}+ \displaystyle\frac{\hbar^{2}\pi^{2}2^{2}}{2ma^{2}}. \displaystyle \Psi_{1}^{\text{(dist)}}=\psi_2(x_k)\prod_{i\ne k}\psi_1(x_i)\times escolha de spins (qualquer k\in\{1,2,3,4\}).
Bósons indistinguíveis — estado fundamental: E_{\text{GS}}^{\text{(bóson)}}=4E_1ó. \displaystyle \Psi_{\text{GS}}^{\text{(bóson)}}=\prod_{i=1}^4\psi_1(x_i)\chi_{\text{sim}}(s_1,\dots,s_4)ó (por exemplo todos spins \uparrow).
Bósons indistinguíveis — primeiro excitado: E_{1}^{\text{(bóson)}}=3E_1+E_2ó. Função de onda espacial simetrizada:
Férmions indistinguíveis (spin 1/2) — estado fundamental: E_{\text{GS}}^{\text{(férmion)}}=2E_1+2E_2é. Função de onda: determinante de Slater com orbitais \Phi_{1\uparrow},\Phi_{1\downarrow},\Phi_{2\uparrow},\Phi_{2\downarrow},
Férmions indistinguíveis (spin 1/2) — primeiro excitado: E_{1}^{\text{(férmion)}}=2E_1+E_2+E_3é. Função de onda: determinante de Slater correspondente à ocupação \{1\uparrow,1\downarrow,2\uparrow,3\sigma\} (ou análogas trocas de spin), por exemplo