( 2,5 \mathrm{pts} ) Um feixe de luz com polarizaçio de 30^{\circ} em relação à vertical e com uma intensidade de 15 \mathrm{~mW} / \mathrm{m}^{2} atravessa um filtro polarizador que tem seu eixo de polarização orientado na vertical. Determine a) a amplitude do campo elétrico da luz transmitida e b) a pressĩo exercida pela radiaçāo sobre o filtro polarizador.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas:
  • Informação 1: a luz incidente tem polarização a \(30^\circ) em relação à vertical.
  • Informação 2: a intensidade da luz incidente é \(I_0 = 15\\ \mathrm{mW}/\mathrm{m}^2).
  • Informação 3: a luz atravessa um filtro polarizador cujo eixo de polarização está na vertical.
  • Pergunta (a): determinar a amplitude do campo elétrico da luz transmitida.
  • Pergunta (b): determinar a pressão exercida pela radiação sobre o filtro polarizador.
Observação: as unidades de intensidade dadas serão usadas no cálculo (vou converter para \mathrm{W}/\mathrm{m}^2 quando necessário). Não começo a resolver ainda; só organizei o que foi pedido e o que foi dado.

Passo 2

Primeiro vamos achar a intensidade transmitida pelo polarizador usando a lei de Malus. Explico a lei e cada símbolo:
  • Lei de Malus: a intensidade transmitida por um polarizador ideal é dada por
I_{\mathrm{t}} = I_{0}\cos^{2}\theta,
onde \(I_{0}) é a intensidade da luz incidente, \(\theta) é o ângulo entre a direção de polarização do feixe incidente e o eixo de transmissão do polarizador, e \(I_{\mathrm{t}}) é a intensidade transmitida.
No nosso problema \(\theta=30^\circ) e \(I_{0}=15\\ \mathrm{mW}/\mathrm{m}^2 = 15\times10^{-3}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2). Então
I_{\mathrm{t}} = 15\times10^{-3}\cos^{2}(30^\circ)\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.
Lembrando \(\cos30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}), logo \(\cos^2 30^\circ=\dfrac{3}{4}). Assim
I_{\mathrm{t}} = 15\times10^{-3}\cdot\frac{3}{4}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2 = 11{,}25\times10^{-3}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2 = 0{,}01125\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.

Passo 3

Agora relaciono intensidade média de uma onda eletromagnética com a amplitude do campo elétrico. Explico a fórmula:
  • Para uma onda plana monocromática no vácuo (ou ar), a intensidade média (valor médio temporal do vetor de Poynting) é
I=\frac{1}{2}c\varepsilon_{0}E_{0}^{2},
onde \(I) é a intensidade média ( \mathrm{W}/\mathrm{m}^2), \(c) é a velocidade da luz no vácuo ( \approx 3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}), \(\varepsilon_{0}) é a permissividade do vácuo ( \varepsilon_{0}\approx 8{,}85\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}), e \(E_{0}) é a amplitude (valor de pico) do campo elétrico ( \mathrm{V/m}). A origem dessa fórmula vem do cálculo do vetor de Poynting para a onda e do fato de que o campo magnético tem amplitude B_{0}=E_{0}/c, mas aqui uso apenas a fórmula pronta e explicada.
Queremos E_{0} da luz transmitida: isolando E_{0},
E_{0}=\sqrt{\frac{2I}{c\varepsilon_{0}}}.
Substituímos I=I_{\mathrm{t}}=0{,}01125\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2, c=3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s} e \varepsilon_{0}=8{,}85\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}:
E_{0}=\sqrt{\frac{2\cdot 0{,}01125}{(3{,}00\times10^{8})(8{,}85\times10^{-12})}}.
Faço as contas passo a passo:
\text{denominador} = (3{,}00\times10^{8})(8{,}85\times10^{-12})=2{,}655\times10^{-3}.
\text{numerador} = 2\cdot 0{,}01125 = 0{,}0225.
\frac{0{,}0225}{2{,}655\times10^{-3}} \approx 8{,}482.
Tomando raiz:
E_{0}\approx \sqrt{8{,}482}\approx 2{,}91\\ \mathrm{V/m}.
Interpretação: este é o valor de pico (amplitude) do campo elétrico transmitido pelo polarizador.

Passo 4

Agora a pressão de radiação exercida sobre o filtro. Explico o raciocínio físico:
  • A pressão de radiação sobre uma superfície surge porque a luz carrega momento. O fluxo de momento por unidade de área por unidade de tempo é \dfrac{I}{c} (intensidade dividida por c).
  • Se uma fração da intensidade \(I) é absorvida pelo filtro, a pressão devido à absorção vale \dfrac{I_{\text{absorvida}}}{c}.
  • No nosso polarizador ideal o componente da luz alinhado ao eixo vertical é transmitido e o componente ortogonal é absorvido (assumimos que o polarizador ideal absorve o componente perpendicular, sem reflexão). Portanto a intensidade absorvida é
I_{\mathrm{abs}} = I_{0}-I_{\mathrm{t}} = I_{0}\sin^{2}\theta.
No caso \(\theta=30^\circ), \(\sin30^\circ=\tfrac{1}{2}) e \(\sin^{2}30^\circ=\tfrac{1}{4}). Assim
I_{\mathrm{abs}} = 15\times10^{-3}\cdot\frac{1}{4} = 3{,}75\times10^{-3}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2 = 0{,}00375\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.
A pressão exercida pela radiação sobre o polarizador (para a parte absorvida) é
p=\frac{I_{\mathrm{abs}}}{c}=\frac{0{,}00375}{3{,}00\times10^{8}}\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^2.
p = 1{,}25\times10^{-11}\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^2.
Observação: se o polarizador refletisse parte do feixe, a pressão seria maior (reflexão dobra o impulso). Aqui considerei polarizador ideal que absorve o componente eliminado.

Resposta

a) E_{0}\approx 2{,}91\\ \mathrm{V/m}.
b) p\approx 1{,}25\times10^{-11}\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^2.

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