Nos seguintes exercícios, calcule (caso existe) o límite:
\lim _{x \rightarrow 0} f(x), onde f(x)=\left\{\begin{array}{cl}2, & \text { se } x<0 \\\ x+1, & \text { se } x \geq 0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite \lim_{x\to 0} f(x)\) da função por partes \[f(x)=\begin{cases} 2, & \text{se } x<0,\\[4pt] x+1, & \text{se } x\ge 0. \end{cases}
Informações dadas:
  • Para x<0\], vale \(f(x)=2.
  • Para x\ge 0, vale f(x)=x+1.
  • A pergunta é: qual é \lim_{x\to 0} f(x) — isto é, o limite quando x se aproxima de 0 vindo de ambos os lados.]

Passo 2

Primeiro lembrete didático: para funções definidas por partes, o jeito seguro de calcular \lim_{x\to 0} f(x) é olhar os limites laterais. Definições úteis (intuitivas):
  • \lim_{x\to 0^-} f(x) é o valor a que f(x) tende quando x se aproxima de 0 pela esquerda (valores negativos).
  • \lim_{x\to 0^+} f(x) é o valor a que f(x) tende quando x se aproxima de 0 pela direita (valores positivos).
    Regra prática: o limite \lim_{x\to 0} f(x) existe e é igual a um número L se, e somente se,
\lim_{x\to 0^-} f(x)=\lim_{x\to 0^+} f(x)=L.

Passo 3

Calcule o limite pela esquerda \lim_{x\to 0^-} f(x).
  • Para x<0 temos sempre f(x)=2, uma constante.
  • Quando uma função é constante num intervalo à esquerda de 0, ao aproximar-se de 0 pela esquerda o valor continua sendo 2.
    Portanto
\lim_{x\to 0^-} f(x)=2.

Passo 4

Calcule o limite pela direita \lim_{x\to 0^+} f(x).
  • Para x\ge 0 temos f(x)=x+1, que é uma função linear (polinomial de grau 1).
  • Funções polinomiais e lineares são contínuas onde estão definidas, logo o limite quando x\to 0^+ é simplesmente o valor da expressão em x=0.
    Substituindo x=0 na expressão x+1 obtém-se 0+1=1. Assim
\lim_{x\to 0^+} f(x)=1.

Passo 5

Compare os limites laterais.
  • Encontramos \lim_{x\to 0^-} f(x)=2.
  • Encontramos \lim_{x\to 0^+} f(x)=1.
    Como 2\neq 1, os limites laterais não coincidem. Pela regra do Passo 2, o limite bilateral não existe.

Passo 6

Observação extra (útil para prova): o valor da função em 0 é f(0)=0+1=1 (pois usa-se a fórmula para x\ge0). Mesmo assim o limite bilateral não existe — isso é um exemplo clássico de descontinuidade do tipo salto (jump discontinuity): ambos os limites laterais são finitos mas distintos, então há um “salto” em x=0.

Resposta

\lim_{x\to 0} f(x) não existe.

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