2^{\mathrm{a}} Questão (20) Água a 20^{\circ} \mathrm{C} escoa por gravidade por um tubo liso de um reservatório para um outro em nível inferior. A diferença de elevação entre os níveis dos reservatórios é 60 m . O tubo tem 360 m de comprimento, com um diâmetro de 12 cm . (a) Calcule a vazão esperada \mathrm{em} \mathrm{m}^{3} / \mathrm{h}. Despreze as perdas localizadas. (b) Pretende-se futuramente usar uma bomba durante a noite para reencher o reservatório superior, fornecendo 15.000 W para a água a uma vazão de 90 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h}. Calcule o diâmetro do tubo necessário para essa operação noturna e informe se será necessário substituir a tubulação existente.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas e nos fornece dados. Vou listar claramente o que é pedido e os dados fornecidos.
Perguntas:
  1. (a) Calcular a vazão esperada em \mathrm{m}^3/\mathrm{h} quando água a 20^\circ\mathrm{C} escoa por gravidade do reservatório superior para o inferior, desprezando perdas localizadas.
  2. (b) Para o bombeamento noturno: sabendo que a bomba fornece 15\,000\\ \mathrm{W} e que a vazão desejada é 90\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}, calcular o diâmetro do tubo necessário e informar se a tubulação existente precisa ser substituída.
Dados fornecidos:
\Delta z = 60\\ \mathrm{m}
L = 360\\ \mathrm{m}
D_{\text{existente}} = 0{,}12\\ \mathrm{m}
tubo liso (ou seja, considerar a parede como hidraulicamente lisa, sem aspereza significativa). Temperatura da água 20^\circ\mathrm{C}.
Constantes físicas (valores usados nas contas; explico por que escolhi cada um):
g = 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}\quad\text{(aceleração da gravidade)}çã
\nu = 1{,}004\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s}\quad\text{(viscosidade cinemática da água a }20^\circ\mathrm{C}\text{)}áá
\rho = 1000\\ \mathrm{kg/m^3}\quad\text{(densidade aproximada da água a }20^\circ\mathrm{C}\text{; número redondo para facilitar contas)}áú
Observação importante: o escoamento é em regime permanente entre grandes reservatórios, então a velocidade nas superfícies dos reservatórios é desprezível e a perda de carga total por atrito no tubo deve “consumir” a energia disponível da queda de 60 m. Vou usar a equação de Darcy–Weisbach para perda de carga por atrito e uma correlação explícita para o fator de atrito em tubos lisos (fórmula de Haaland para tubo hidráulica lisa, que é explícita e prática para iterações).
A partir daqui começo a resolver passo a passo.

Passo 2

Princípio físico e fórmulas que vamos usar (aula rápida e prática):
  1. Balanço de energia entre superfícies dos reservatórios (Bernoulli simplificado): a perda de carga por atrito ao longo do tubo, h_f, é igual à diferença de níveis \Delta z (desprezando velocidades nas superfícies e perdas localizadas). Então:
h_f = \Delta z.
  1. Fórmula de Darcy–Weisbach para perda de carga por atrito em tubos:
h_f = f \,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g},
onde:
  • h_f é a perda de carga por atrito (m),
  • f é o fator de atrito de Darcy (adimensional),
  • L é comprimento do trecho (m),
  • D é o diâmetro interno do tubo (m),
  • V é a velocidade média do fluido no tubo (m/s),
  • g é a gravidade (m/s^2).
  1. Relação entre vazão Q, velocidade média V e área da seção transversal A:
Q = A V,\qquad A = \frac{\pi D^2}{4}.
  1. Número de Reynolds:
\mathrm{Re} = \frac{V D}{\nu}.
Ele nos diz se o escoamento é laminar ou turbulento; aqui esperamos regime turbulento (Re grande).
  1. Correlação para o fator de atrito em tubo liso: usei a fórmula de Haaland (explícita e prática), válida para escoamentos turbulentos:
\frac{1}{\sqrt{f}} = -1{,}8\\ \log_{10}\!\left(\frac{6{,}9}{\mathrm{Re}}\right).
(para parede perfeitamente lisa, o termo com rugosidade some; esta forma é prática para Re relativamente alto; é uma aproximação comum em engenharia).
Método de solução (por que este método):
  • A equação que liga V e f é acoplada (pois f depende de Re que depende de V). Então vou iterar: chutar um valor de f, calcular V a partir de Darcy (com h_f=\Delta z), obter Re, atualizar f via Haaland, e repetir até convergência. Esse procedimento é direto e é o que se faz em prova quando não temos forma fechada simples.

Passo 3

Cálculos preliminares — área e expressão útil.
Área da seção do tubo existente \\ D=0{,}12\\ \mathrm{m}:
A = \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi (0{,}12)^2}{4} \approx 0{,}0113097\\ \mathrm{m^2}.
Vamos iterar para achar a velocidade V que satisfaz
\Delta z = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g}
ou seja
V = \sqrt{\frac{2 g \Delta z D}{f L}}.
Lembre que \mathrm{Re} = V D / \nu e f é dado pela Haaland em função de Re.

Passo 4

Parte (a): cálculo da vazão por gravidade (iterações detalhadas).
Dados numéricos para esta parte:
D = 0{,}12\\ \mathrm{m},\quad L=360\\ \mathrm{m},\quad \Delta z = 60\\ \mathrm{m},\quad \nu = 1{,}004\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s}.
Iteração 1 (chute inicial e atualização):
  • Chute inicial (prático): f_0 = 0{,}017 (valor típico para escoamento turbulento em tubos lisos).
  • Calcular V_1:
V_1 = \sqrt{\frac{2\cdot 9{,}81 \cdot 60 \cdot 0{,}12}{0{,}017 \cdot 360}}.
Calcule o numerador: 2\cdot 9{,}81 \cdot 60 \cdot 0{,}12 = 141{,}264.
Denominador: 0{,}017\cdot 360 = 6{,}12.
V_1 = \sqrt{\frac{141{,}264}{6{,}12}} = \sqrt{23{,}086} \approx 4{,}804\\ \mathrm{m/s}.
  • Re1:
\mathrm{Re}_1 = \frac{V_1 D}{\nu} = \frac{4{,}804\cdot 0{,}12}{1{,}004\times 10^{-6}} \approx 5{,}74\times 10^5.
  • Atualizar f usando Haaland:
\frac{1}{\sqrt{f_1}} = -1{,}8\log_{10}\!\left(\frac{6{,}9}{5{,}74\times 10^5}\right).
Calcule 6{,}9/\mathrm{Re}_1 \approx 1{,}202\times 10^{-5}; \log_{10}(\cdot)\approx -4{,}920; então 1/\sqrt{f_1}\approx 8{,}856 e
f_1 \approx \frac{1}{8{,}856^2} \approx 0{,}01275.
Iteração 2:
  • Calcular V_2 com f_1:
V_2 = \sqrt{\frac{2\cdot 9{,}81 \cdot 60 \cdot 0{,}12}{0{,}01275 \cdot 360}} \approx 5{,}549\\ \mathrm{m/s}.
  • \mathrm{Re}_2 \approx \frac{5{,}549 \cdot 0{,}12}{1{,}004\times 10^{-6}} \approx 6{,}63\times 10^5.
  • Atualizar f_2 via Haaland: dá f_2\approx 0{,}01242.
Iteração 3:
  • Com f_2 obtemos V_3 \approx 5{,}624\\ \mathrm{m/s} e f_3 converge para \approx 0{,}0124.
Convergência: f\approx 0{,}0124 e V\approx 5{,}62\\ \mathrm{m/s}.
Agora a vazão:
Q = A V \approx 0{,}0113097\\ \mathrm{m^2}\cdot 5{,}624\\ \mathrm{m/s}\approx 0{,}0636\\ \mathrm{m^3/s}.
Converter para \mathrm{m^3/h}:
Q = 0{,}0636\cdot 3600 \approx 229{,}0\\ \mathrm{m^3/h}.
Interpretação: com o tubo existente liso de 0{,}12\\ \mathrm{m} e a queda de 60\\ \mathrm{m}, a vazão por gravidade esperada é cerca de 229\\ \mathrm{m^3/h}.

Passo 5

Parte (b): bombeamento noturno — encontrar o diâmetro necessário para que uma bomba que fornece P=15\,000\\ \mathrm{W} consiga enviar Q=90\\ \mathrm{m^3/h}.
Passos:
  1. Converter a vazão: Q = 90\\ \mathrm{m^3/h} = 90/3600 = 0{,}025\\ \mathrm{m^3/s}.
  2. Relação entre potência hidráulica, vazão e coluna de carga total H:
P = \rho g Q H,
assumindo bomba ideal (ou seja, potência elétrica entregue à água; se houvesse eficiência, deveríamos dividir por \eta). Aqui usamos \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}. Então:
H = \frac{P}{\rho g Q} = \frac{15{,}000}{1000\cdot 9{,}81 \cdot 0{,}025}.
Calcule o denominador: 1000\cdot 9{,}81\cdot 0{,}025 = 245{,}25.
H \approx \frac{15{,}000}{245{,}25}\approx 61{,}14\\ \mathrm{m}.
  1. Essa coluna H é usada para vencer a elevação \Delta z = 60\\ \mathrm{m} mais as perdas por atrito h_f. Então:
h_f = H - \Delta z \approx 61{,}14 - 60 = 1{,}14\\ \mathrm{m}.
Ou seja, a bomba só tem energia suficiente para dar cerca de 1{,}14\\ \mathrm{m} de perda por atrito no tubo quando bombeando 90\\ \mathrm{m^3/h}.
  1. Agora, para um tubo de comprimento L e diâmetro desconhecido D, queremos que
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g},
com V = \dfrac{Q}{A} = \dfrac{4Q}{\pi D^2}. Substituindo V^2 e rearranjando, obtemos a relação (útil para computação):
h_f = f\\ \frac{8 L Q^2}{g\pi^2 D^5}.
Aqui f depende de \mathrm{Re}, e \mathrm{Re}=\dfrac{4Q}{\pi D \nu} (note que com V=4Q/\pi D^2, \mathrm{Re}=VD/\nu = 4Q/(\pi D \nu)). Assim temos equação implícita em D. Vou resolver por tentativa (iteração), testando valores de D e usando a fórmula de Haaland para f (tubo liso).
Constantes para esta parte:
Q = 0{,}025\\ \mathrm{m^3/s},\quad L=360\\ \mathrm{m},\quad \nu = 1{,}004\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s},\quad g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
Fiz tentativa iterativa (mostro alguns passos para você aprender a fazer na prova):
Teste com D=0{,}18\\ \mathrm{m}:
  • V=\dfrac{4Q}{\pi D^2} \approx 0{,}982\\ \mathrm{m/s}.
  • \mathrm{Re}\approx 1{,}76\times 10^5.
  • Haaland dá f\approx 0{,}0159.
  • Calcule h_f:
h_f = f\frac{L}{D}\frac{V^2}{2g} \approx 1{,}56\\ \mathrm{m},
que é maior que 1{,}14\\ \mathrm{m}. Então D=0{,}18\\ \mathrm{m} é pequeno demais (muita perda).
Teste com D=0{,}195\\ \mathrm{m}:
  • V\approx 0{,}837\\ \mathrm{m/s}.
  • \mathrm{Re}\approx 1{,}63\times 10^5.
  • Haaland dá f\approx 0{,}0161.
  • h_f\approx 1{,}063\\ \mathrm{m}, agora um pouco menor que 1{,}14\\ \mathrm{m}.
Teste intermediário com D=0{,}192\\ \mathrm{m}:
  • V\approx 0{,}863\\ \mathrm{m/s}.
  • \mathrm{Re}\approx 1{,}65\times 10^5.
  • Haaland dá f\approx 0{,}0160.
  • h_f \approx 1{,}143\\ \mathrm{m}, que coincide com o h_f disponível dentro do arredondamento.
Convergência: o diâmetro necessário para que a perda por atrito seja igual àquela que a bomba pode fornecer é aproximadamente
D \approx 0{,}192\\ \mathrm{m}\quad\text{(ou seja, }192\\ \mathrm{mm}\text{)}.
  1. Comparação com a tubulação existente: o tubo atual tem D_{\text{existente}} = 0{,}12\\ \mathrm{m} = 120\\ \mathrm{mm}, que é muito menor que 192\\ \mathrm{mm}. Portanto será necessário substituir a tubulação por uma de diâmetro maior (aprox. 192\\ \mathrm{mm}) para que a bomba de 15{,}000\\ \mathrm{W} consiga bombear 90\\ \mathrm{m^3/h}.

Passo 6

Comentário final didático e checagens rápidas:
  • Na parte (a) o escoamento por gravidade resultou em velocidade alta ( \sim 5{,}6\\ \mathrm{m/s}) e vazão alta ( \sim 229\\ \mathrm{m^3/h}). Isso é natural porque a queda de 60\\ \mathrm{m} é grande comparada ao comprimento do tubo; a resistência por atrito foi calculada com Darcy–Weisbach e fator de atrito obtido pela fórmula de Haaland (boa para tubos lisos em regime turbulento).
  • Na parte (b) a bomba tem potência suficiente para uma coluna total de cerca de 61{,}14\\ \mathrm{m}. Como 60\\ \mathrm{m} é necessário só para vencer a elevação geodésica, sobra pouco para perdas por atrito, daí a necessidade de um tubo bem largo para reduzir h_f (a h_f decresce fortemente com aumento de D, aproximadamente com D^{-5} se f não variase — daí a forte sensibilidade do diâmetro).
Agora deixo apenas as respostas finais pedidas, em formato direto.

Resposta

(a) 229{,}0\\ \mathrm{m^3/h}
(b) Diâmetro necessário D\approx 0{,}192\\ \mathrm{m} (aprox. 192\\ \mathrm{mm}). Será necessário substituir a tubulação existente (o tubo atual tem 120\\ \mathrm{mm}, muito menor que 192\\ \mathrm{mm}).

Exercícios relacionados