Questão (20) Água a
escoa por gravidade por um tubo liso de um reservatório para um outro em nível inferior. A diferença de elevação entre os níveis dos reservatórios é 60 m . O tubo tem 360 m de comprimento, com um diâmetro de 12 cm . (a) Calcule a vazão esperada
. Despreze as perdas localizadas. (b) Pretende-se futuramente usar uma bomba durante a noite para reencher o reservatório superior, fornecendo 15.000 W para a água a uma vazão de
. Calcule o diâmetro do tubo necessário para essa operação noturna e informe se será necessário substituir a tubulação existente.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas e nos fornece dados. Vou listar claramente o que é pedido e os dados fornecidos.
Perguntas:
- (a) Calcular a vazão esperada em
quando água a escoa por gravidade do reservatório superior para o inferior, desprezando perdas localizadas. - (b) Para o bombeamento noturno: sabendo que a bomba fornece
e que a vazão desejada é , calcular o diâmetro do tubo necessário e informar se a tubulação existente precisa ser substituída.
Dados fornecidos:
tubo liso (ou seja, considerar a parede como hidraulicamente lisa, sem aspereza significativa). Temperatura da água
.
Constantes físicas (valores usados nas contas; explico por que escolhi cada um):
Observação importante: o escoamento é em regime permanente entre grandes reservatórios, então a velocidade nas superfícies dos reservatórios é desprezível e a perda de carga total por atrito no tubo deve “consumir” a energia disponível da queda de 60 m. Vou usar a equação de Darcy–Weisbach para perda de carga por atrito e uma correlação explícita para o fator de atrito em tubos lisos (fórmula de Haaland para tubo hidráulica lisa, que é explícita e prática para iterações).
A partir daqui começo a resolver passo a passo.
Passo 2
Princípio físico e fórmulas que vamos usar (aula rápida e prática):
- Balanço de energia entre superfícies dos reservatórios (Bernoulli simplificado): a perda de carga por atrito ao longo do tubo,
, é igual à diferença de níveis (desprezando velocidades nas superfícies e perdas localizadas). Então:
- Fórmula de Darcy–Weisbach para perda de carga por atrito em tubos:
onde:
-
é a perda de carga por atrito (m), -
é o fator de atrito de Darcy (adimensional), -
é comprimento do trecho (m), -
é o diâmetro interno do tubo (m), -
é a velocidade média do fluido no tubo (m/s), -
é a gravidade (m/s^2).
- Relação entre vazão
, velocidade média e área da seção transversal :
- Número de Reynolds:
Ele nos diz se o escoamento é laminar ou turbulento; aqui esperamos regime turbulento (Re grande).
- Correlação para o fator de atrito em tubo liso: usei a fórmula de Haaland (explícita e prática), válida para escoamentos turbulentos:
(para parede perfeitamente lisa, o termo com rugosidade some; esta forma é prática para Re relativamente alto; é uma aproximação comum em engenharia).
Método de solução (por que este método):
- A equação que liga
e é acoplada (pois depende de Re que depende de ). Então vou iterar: chutar um valor de , calcular a partir de Darcy (com ), obter Re, atualizar via Haaland, e repetir até convergência. Esse procedimento é direto e é o que se faz em prova quando não temos forma fechada simples.
Passo 3
Cálculos preliminares — área e expressão útil.
Área da seção do tubo existente
:
Vamos iterar para achar a velocidade
que satisfaz
ou seja
Lembre que
e
é dado pela Haaland em função de Re.
Passo 4
Parte (a): cálculo da vazão por gravidade (iterações detalhadas).
Dados numéricos para esta parte:
Iteração 1 (chute inicial e atualização):
- Chute inicial (prático):
(valor típico para escoamento turbulento em tubos lisos). - Calcular
:
Calcule o numerador:
.
Denominador: .
Denominador:
- Re1:
- Atualizar
usando Haaland:
Calcule
;
; então
e
Iteração 2:
- Calcular
com :
-
- Atualizar
via Haaland: dá .
Iteração 3:
- Com
obtemos e converge para .
Convergência:
e
.
Agora a vazão:
Converter para
:
Interpretação: com o tubo existente liso de
e a queda de
, a vazão por gravidade esperada é cerca de
.
Passo 5
Parte (b): bombeamento noturno — encontrar o diâmetro necessário para que uma bomba que fornece
consiga enviar
.
Passos:
-
Converter a vazão:
. -
Relação entre potência hidráulica, vazão e coluna de carga total
:
assumindo bomba ideal (ou seja, potência elétrica entregue à água; se houvesse eficiência, deveríamos dividir por
). Aqui usamos
. Então:
Calcule o denominador:
.
- Essa coluna
é usada para vencer a elevação mais as perdas por atrito . Então:
Ou seja, a bomba só tem energia suficiente para dar cerca de
de perda por atrito no tubo quando bombeando
.
- Agora, para um tubo de comprimento
e diâmetro desconhecido , queremos que
com
. Substituindo
e rearranjando, obtemos a relação (útil para computação):
Aqui
depende de
, e
(note que com
,
). Assim temos equação implícita em
. Vou resolver por tentativa (iteração), testando valores de
e usando a fórmula de Haaland para
(tubo liso).
Constantes para esta parte:
Fiz tentativa iterativa (mostro alguns passos para você aprender a fazer na prova):
Teste com
:
-
. -
. - Haaland dá
. - Calcule
:
que é maior que
. Então
é pequeno demais (muita perda).
Teste com
:
-
. -
. - Haaland dá
. -
, agora um pouco menor que .
Teste intermediário com
:
-
. -
. - Haaland dá
. -
, que coincide com o disponível dentro do arredondamento.
Convergência: o diâmetro necessário para que a perda por atrito seja igual àquela que a bomba pode fornecer é aproximadamente
- Comparação com a tubulação existente: o tubo atual tem
, que é muito menor que . Portanto será necessário substituir a tubulação por uma de diâmetro maior (aprox. ) para que a bomba de consiga bombear .
Passo 6
Comentário final didático e checagens rápidas:
- Na parte (a) o escoamento por gravidade resultou em velocidade alta (
) e vazão alta ( ). Isso é natural porque a queda de é grande comparada ao comprimento do tubo; a resistência por atrito foi calculada com Darcy–Weisbach e fator de atrito obtido pela fórmula de Haaland (boa para tubos lisos em regime turbulento). - Na parte (b) a bomba tem potência suficiente para uma coluna total de cerca de
. Como é necessário só para vencer a elevação geodésica, sobra pouco para perdas por atrito, daí a necessidade de um tubo bem largo para reduzir (a decresce fortemente com aumento de , aproximadamente com se não variase — daí a forte sensibilidade do diâmetro).
Agora deixo apenas as respostas finais pedidas, em formato direto.
Resposta
(a)
(b) Diâmetro necessário
(aprox.
). Será necessário substituir a tubulação existente (o tubo atual tem
, muito menor que
).