Usando a regra composta dos trapezios ( h=1 ), calcular a integral na forma aproximada e exata e determinar o erro.
I=\int_{1}^{5}\left(x^{2}+6 x+8\right) d x

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  1. Aproximar a integral \displaystyle I=\int_{1}^{5}\left(x^{2}+6x+8\right)\,dx usando a regra composta dos trapézios com passo h=1.
  2. Calcular o valor exato da integral.
  3. Determinar o erro da aproximação (quanto a aproximação difere do valor exato).
Informações dadas e condições relevantes:
\displaystyle f(x)=x^{2}+6x+8.
Intervalo: [1,5].
Passo da regra composta: h=1.
Como h=1 e o intervalo tem comprimento 5-1=4, teremos n=\dfrac{5-1}{1}=4 subintervalos e os nós são \;x_0=1,\;x_1=2,\;x_2=3,\;x_3=4,\;x_4=5.

Passo 2

Explicando a regra composta dos trapézios (fórmula e o que cada símbolo significa).
Se temos n subintervalos de largura h com nós x_0,x_1,\dots,x_n e f avaliada nesses nós, a aproximação composta pelos trapézios é
T = h\left(\frac{f(x_0)+f(x_n)}{2} + \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i)\right).
Aqui:
  • h é a largura de cada subintervalo (aqui h=1);
  • f(x_0) e f(x_n) são os valores nos extremos;
  • a soma \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) soma os valores internos.
    Vamos aplicar essa fórmula com n=4 e os nós listados no Passo 1.

Passo 3

Calcular f nos nós (vou mostrar as contas explicando cada substituição):
\begin{aligned} f(1) &= 1^2 + 6\cdot1 + 8 = 1 + 6 + 8 = 15,\\[4pt] f(2) &= 2^2 + 6\cdot2 + 8 = 4 + 12 + 8 = 24,\\[4pt] f(3) &= 3^2 + 6\cdot3 + 8 = 9 + 18 + 8 = 35,\\[4pt] f(4) &= 4^2 + 6\cdot4 + 8 = 16 + 24 + 8 = 48,\\[4pt] f(5) &= 5^2 + 6\cdot5 + 8 = 25 + 30 + 8 = 63. \end{aligned}]

Passo 4

Aplicar a fórmula composta dos trapézios com os valores encontrados:
\begin{aligned} T &= h\left(\frac{f(1)+f(5)}{2} + \bigl(f(2)+f(3)+f(4)\bigr)\right)\\[4pt] &= 1\left(\frac{15+63}{2} + (24+35+48)\right). \end{aligned}
Calcule passo a passo:
\frac{15+63}{2}=\frac{78}{2}=39,\qquad 24+35+48=107.
Logo
T = 39 + 107 = 146.
Portanto a aproximação pela regra composta dos trapézios (com h=1) é T=146.]

Passo 5

Agora vamos calcular o valor exato da integral usando antiderivada (integrar termo a termo — explicação didática).
Regra básica: \displaystyle \int x^k\,dx=\frac{x^{k+1}}{k+1}+C e \displaystyle \int a x\,dx = a\cdot\frac{x^2}{2}, \displaystyle \int c\,dx = c x.
Aplicando a cada termo de f(x)=x^2+6x+8:
\text{antiderivada } F(x)=\frac{x^3}{3} + 3x^2 + 8x.
Aqui explique: \int x^2 dx = x^3/3, \int 6x dx = 6\cdot x^2/2 = 3x^2, \int 8 dx = 8x.

Passo 6

Avaliar a antiderivada nos extremos e subtrair:
\begin{aligned} F(5) &= \frac{5^3}{3} + 3\cdot5^2 + 8\cdot5 = \frac{125}{3} + 75 + 40 = \frac{125}{3} + 115 = \frac{470}{3},\\[4pt] F(1) &= \frac{1^3}{3} + 3\cdot1^2 + 8\cdot1 = \frac{1}{3} + 3 + 8 = \frac{1}{3} + 11 = \frac{34}{3}. \end{aligned}
Portanto o valor exato é
I = F(5)-F(1) = \frac{470}{3} - \frac{34}{3} = \frac{436}{3}\approx 145,333\ldots]

Passo 7

Determinar o erro e relacionar com a fórmula de erro do trapézio (explicação didática).
Uma forma padrão de expressar o erro do trapézio composto é
I - T = -\frac{(b-a)}{12}\,h^{2}\,f''(\xi)
para algum \xi\in(a,b). Isso também dá um limite
|I-T|\le \frac{(b-a)}{12}\,h^{2}\,\max_{x\in[a,b]}|f''(x)|.
Aqui a=1,\;b=5,\;h=1. Nossa função tem segunda derivada constante:
f''(x)=2\quad\text{para todo }x.
Como f'' é constante, podemos calcular exatamente o erro usando a fórmula (substituindo f''(\xi)=2):
I - T = -\frac{5-1}{12}\cdot 1^{2}\cdot 2 = -\frac{4}{12}\cdot 2 = -\frac{8}{12} = -\frac{2}{3}.
Isso significa que
T - I = \frac{2}{3}
e o erro absoluto é |T-I|=\dfrac{2}{3}\approx 0,666\ldots. Observe que o sinal mostra que a regra dos trapézios superestimou o valor exato (porque T>I) — isso está de acordo com f''>0 (função convexa), caso em que o trapézio tende a sobreestimar.

Resposta

Aproximação (regra composta dos trapézios, h=1): 146
Valor exato da integral: \dfrac{436}{3}
Erro (diferença T-I): \dfrac{2}{3} (erro absoluto \dfrac{2}{3}, aproximadamente 0{,}666\ldots)

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