Usando a regra composta dos trapezios (
), calcular a integral na forma aproximada e exata e determinar o erro.
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
- Aproximar a integral
usando a regra composta dos trapézios com passo . - Calcular o valor exato da integral.
- Determinar o erro da aproximação (quanto a aproximação difere do valor exato).
Informações dadas e condições relevantes:
.
Intervalo: .
Passo da regra composta: .
Como e o intervalo tem comprimento
, teremos
subintervalos e os nós são
Intervalo:
Passo da regra composta:
Como
Passo 2
Explicando a regra composta dos trapézios (fórmula e o que cada símbolo significa).
Se temos subintervalos de largura
com nós
e
avaliada nesses nós, a aproximação composta pelos trapézios é
Se temos
Aqui:
-
é a largura de cada subintervalo (aqui ); -
e são os valores nos extremos; - a soma
soma os valores internos.
Vamos aplicar essa fórmula come os nós listados no Passo 1.
Passo 3
Calcular
nos nós (vou mostrar as contas explicando cada substituição):
Passo 4
Aplicar a fórmula composta dos trapézios com os valores encontrados:
Calcule passo a passo:
Logo
Portanto a aproximação pela regra composta dos trapézios (com
) é
.]
Passo 5
Agora vamos calcular o valor exato da integral usando antiderivada (integrar termo a termo — explicação didática).
Regra básica: e
,
.
Aplicando a cada termo de :
Regra básica:
Aplicando a cada termo de
Aqui explique:
,
,
.
Passo 6
Avaliar a antiderivada nos extremos e subtrair:
Portanto o valor exato é
Passo 7
Determinar o erro e relacionar com a fórmula de erro do trapézio (explicação didática).
Uma forma padrão de expressar o erro do trapézio composto é
Uma forma padrão de expressar o erro do trapézio composto é
para algum
. Isso também dá um limite
Aqui
. Nossa função tem segunda derivada constante:
Como
é constante, podemos calcular exatamente o erro usando a fórmula (substituindo
):
Isso significa que
e o erro absoluto é
. Observe que o sinal mostra que a regra dos trapézios superestimou o valor exato (porque
) — isso está de acordo com
(função convexa), caso em que o trapézio tende a sobreestimar.
Resposta
Aproximação (regra composta dos trapézios,
):
Valor exato da integral:
Erro (diferença ):
(erro absoluto
, aproximadamente
)
Valor exato da integral:
Erro (diferença