7^{\mathrm{a}} Questão: Considere que a rede capacitiva formada por capacitores em paralelo: C_{1}=0,2 \mu \mathrm{~F}, C_{2}=0,25 \mu \mathrm{~F} e C_{3}=0,5 \mu \mathrm{~F}. Depois, calcule a reatancia capacitiva da rede, quando submetida a uma frequencia de 50 Hz .

Passo 1

O enunciado pede que você calcule a reatância capacitiva da rede formada por três capacitores em paralelo quando a rede é sujeita a uma frequência de 50\\ \mathrm{Hz}.
Dados fornecidos:
C_{1}=0,2\\ \mu\mathrm{F},\qquad C_{2}=0,25\\ \mu\mathrm{F},\qquad C_{3}=0,5\\ \mu\mathrm{F}
e a frequência
f=50\\ \mathrm{Hz}.

Passo 2

Primeiro precisamos achar a capacitância equivalente da associação em paralelo. Regra para capacitores em paralelo: a capacitância equivalente é a soma das capacitâncias individuais. Ou seja,
C_{\mathrm{eq}}=C_{1}+C_{2}+C_{3}.
Vou somar os valores dados (todos em \mu\mathrm{F}):
C_{\mathrm{eq}}=0,2+0,25+0,5=0,95\\ \mu\mathrm{F}.
Isso significa que a rede comporta-se como um único capacitor de 0,95\\ \mu\mathrm{F}.

Passo 3

Para usar a fórmula da reatância precisamos trabalhar em unidades do SI, ou seja farads. Lembrete de conversão:
1\\ \mu\mathrm{F}=10^{-6}\\ \mathrm{F}.
Convertemos C_{\mathrm{eq}}:
C_{\mathrm{eq}}=0,95\times10^{-6}\\ \mathrm{F}=9,5\times10^{-7}\\ \mathrm{F}.
Explicando: fazemos isso porque a fórmula da reatância usa farads para ficar consistente com hertz e rad/s.

Passo 4

Agora a fórmula que define a reatância capacitiva (módulo) é
X_{C}=\frac{1}{\omega C}=\frac{1}{2\pi f C},
onde:
  • \omega=2\pi f é a pulsação em rad/s,
  • f é a frequência em hertz,
  • C é a capacitância em farads,
  • X_{C} tem unidades de ohms ( \Omega).
    Essa fórmula vem da impedância do capacitor Z_{C}=\dfrac{1}{\mathrm{j}\omega C}=-\mathrm{j}X_{C}; aqui estamos interessados no valor positivo de X_{C}.

Passo 5

Calculo de 2\pi f:
2\pi f = 2\pi\cdot 50 = 100\pi.
Aproximando numericamente \pi:
100\pi \approx 314,1592654.

Passo 6

Multiplico 2\pi f pela capacitância em farads:
2\pi f C = 100\pi \cdot 9,5\times10^{-7}\\ \mathrm{F} \approx 314,1592654 \times 9,5\times10^{-7}.
Fazendo a multiplicação:
2\pi f C \approx 2,98451301091\times10^{-4}.

Passo 7

Agora inverto esse valor para obter X_{C}:
X_{C}=\frac{1}{2\pi f C}\approx\frac{1}{2,98451301091\times10^{-4}}\\ \Omega \approx 3351\\ \Omega.
Arredondando com três algarismos significativos, dá aproximadamente 3,35\times10^{3}\\ \Omega, isto é 3,35\\ \mathrm{k}\Omega.

Passo 8

Resumo prático para a prova: some as capacitâncias em \mu\mathrm{F}, converta para farads multiplicando por 10^{-6}, e use X_{C}=1/(2\pi f C). Se precisar de aproximação rápida, lembrar que maiores capacitâncias ou maiores frequências reduzem X_{C} (fica mais fácil para correntes alternadas passarem).

Resposta

X_{C}\approx 3,35\times10^{3}\\ \Omega\\ (\text{isto é, }3,35\\ \mathrm{k}\Omega)é

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