5^{\underline{a}} Questão: Considere que as bobinas em questao estao suficientemente afastadas de modo que a indutancia mutua pode ser desprezada e calcule a indutancia total para as bobinas L_{1}=3 \mathrm{mH}, L_{2}=5 \mathrm{mH} e L_{3}=10 \mathrm{mH}, ligadas em paralelo. Depois, calcule a reatancia indutiva total do sistema, considerando uma frequencia de 200 Hz .

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Pede-se a indutância total das três bobinas ligadas em paralelo, considerando que a indutância mútua é desprezível.
  • Pede-se também a reatância indutiva total do conjunto para a frequência 200\\ \mathrm{Hz}.
Dados (vou listar exatamente como estão no enunciado):
L_{1}=3\\ \mathrm{mH},\qquad L_{2}=5\\ \mathrm{mH},\qquad L_{3}=10\\ \mathrm{mH},
f=200\\ \mathrm{Hz}.

Passo 2

Entendendo o princípio físico e a ideia de cálculo (sem contar com acoplamento magnético).
  • Quando bobinas estão suficientemente afastadas, cada uma responde ao campo sem afetar as outras: podemos somar os “efeitos” como se fossem independentes.
  • Em circuitos AC, a bobina tem uma impedância complexa dada por \displaystyle Z_{L}=j\omega L, onde:
    • \displaystyle j é a unidade imaginária (representa defasagem de +90^\circ),
    • \displaystyle \omega é a pulsação, \displaystyle \omega=2\pi f,
    • \displaystyle L é a indutância em henry.
  • Para elementos em paralelo usamos a regra: \displaystyle \frac{1}{Z_{\text{eq}}}=\sum \frac{1}{Z_i}. Vamos aplicar isso às impedâncias Z_{i}=j\omega L_i.

Passo 3

Derivação da fórmula prática para indutâncias em paralelo (passo-a-passo e bem didático).
  • Para cada bobina i: \displaystyle Z_i=j\omega L_i.
  • Então: \frac{1}{Z_{\text{eq}}}=\sum_{i=1}^{3}\frac{1}{Z_i}=\sum_{i=1}^{3}\frac{1}{j\omega L_i} =\frac{1}{j\omega}\sum_{i=1}^{3}\frac{1}{L_i}.
  • Invertendo ambos os lados obtemos: Z_{\text{eq}}=\frac{j\omega}{\displaystyle\sum_{i=1}^{3}\frac{1}{L_i}}.
  • Como a forma geral da impedância de uma indutância equivalente L_{\text{eq}} é Z_{\text{eq}}=j\omega L_{\text{eq}}, podemos identificar L_{\text{eq}}=\frac{1}{\displaystyle\sum_{i=1}^{3}\frac{1}{L_i}}.
  • Em palavras: a indutância equivalente de bobinas em paralelo é obtida somando-se os recíprocos das indutâncias e invertendo o resultado — análogo ao caso de resistores em paralelo, só que aqui derivado usando as impedâncias.

Passo 4

Preparação numérica: converter unidades para o SI (henry) para poder calcular sem erro.
  • Converter cada L_i de milihenry para henry: L_{1}=3\\ \mathrm{mH}=3\times10^{-3}\\ \mathrm{H},
L_{2}=5\\ \mathrm{mH}=5\times10^{-3}\\ \mathrm{H},
L_{3}=10\\ \mathrm{mH}=10\times10^{-3}\\ \mathrm{H}=1\times10^{-2}\\ \mathrm{H}.

Passo 5

Calcular a soma dos recíprocos \displaystyle \sum \frac{1}{L_i} com contas explicadas.
  • Calcule cada recíproco: \frac{1}{L_{1}}=\frac{1}{3\times10^{-3}}=\frac{1000}{3}\approx 333{,}333\ldots
\frac{1}{L_{2}}=\frac{1}{5\times10^{-3}}=200
\frac{1}{L_{3}}=\frac{1}{10\times10^{-3}}=100
  • Somando: \sum_{i=1}^{3}\frac{1}{L_i}=\frac{1000}{3}+200+100=\frac{1000}{3}+300=\frac{1000+900}{3}=\frac{1900}{3}.(a soma exata é \displaystyle \frac{1900}{3}\\ \mathrm{H}^{-1}, que em decimal é 633{,}333\ldots\\ \mathrm{H}^{-1}).

Passo 6

Encontrar a indutância equivalente L_{\text{eq}} (inverso da soma) e converter para mH para ficar intuitivo.
  • Usando a fórmula: L_{\text{eq}}=\frac{1}{\displaystyle\sum_{i=1}^{3}\frac{1}{L_i}}=\frac{1}{\frac{1900}{3}}=\frac{3}{1900}\\ \mathrm{H}.
  • Em decimal: L_{\text{eq}}=\frac{3}{1900}\\ \mathrm{H}=0{,}001578947368\ldots\\ \mathrm{H}=1{,}578947368\ldots\\ \mathrm{mH}.
  • Para a prova, arredondando razoavelmente, podemos usar L_{\text{eq}}\approx1{,}579\\ \mathrm{mH} (ou manter a fração exata \tfrac{3}{1900}\\ \mathrm{H}).

Passo 7

Calcular a reatância indutiva total para f=200\\ \mathrm{Hz}.
  • Primeiro calcule a pulsação: \omega=2\pi f=2\pi\cdot 200=400\pi\\ \mathrm{rad/s}.
  • A reatância indutiva total (módulo da parte imaginária da impedância) é: X_{L}=\omega L_{\text{eq}}.
  • Substituindo a forma exata L_{\text{eq}}=\dfrac{3}{1900}: X_{L}=(400\pi)\cdot\frac{3}{1900}=\frac{1200\pi}{1900}=\frac{12\pi}{19}\\ \Omega.
  • Em decimal: X_{L}\approx\frac{12\cdot 3{,}14159265}{19}\approx 1{,}984\\ \Omega.
  • Se quiser, a impedância total do conjunto é Z_{\text{eq}}=jX_{L}=j\cdot 1{,}984\\ \Omega (ou j\frac{12\pi}{19}\\ \Omega).

Resposta

L_{\text{total}}=\frac{3}{1900}\\ \mathrm{H}=0{,}001578947\\ \mathrm{H}=1{,}578947\\ \mathrm{mH}
X_{L}=\frac{12\pi}{19}\ \Omega\approx 1{,}984\ \Omega

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