5^{\mathrm{a}} Questão - Dois cubos de gelo de 50 g são misturados com 200 g de água em um recipiente termicamente isolado. Se a água está inicialmente a 5^{\circ} \mathrm{C} e o gelo foi removido de um congelador a -15^{\circ} \mathrm{C}, qual é a temperatura final de equilíbrio?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede a temperatura final de equilíbrio:
  • Dois cubos de gelo de 50\,\mathrm{g} cada, logo massa total do gelo m_{\text{gelo}}=100\,\mathrm{g}.
  • Temperatura inicial do gelo T_{\text{gelo,ini}}=-15^\circ\mathrm{C}.
  • Água líquida de massa m_{\text{água}}=200\,\mathrm{g}á.
  • Temperatura inicial da água T_{\text{água,ini}}=5^\circ\mathrm{C}á.
  • Recipiente termicamente isolado (energia trocada apenas entre gelo e água).
    O que se pede: encontrar a temperatura final de equilíbrio T_f do sistema.

Passo 2

Princípio físico que vamos usar (conservação de energia): como o sistema é isolado, a soma das energias trocadas é zero — o calor ganho pelo gelo deve ser igual ao calor perdido pela água. As fórmulas básicas que usaremos são:
  • Calor necessário para aquecer uma massa m de uma temperatura T_1 até T_2:
Q = m\,c\,\Delta T = m\,c\,(T_2-T_1),
onde c é o calor específico (energia necessária por unidade de massa e por grau).
  • Calor necessário para fundir (trocar de fase) uma massa m à temperatura de fusão:
Q = m\,L_f,
onde L_f é o calor latente de fusão (energia por unidade de massa).
Vou usar valores típicos padrão (não fornecidos no enunciado; estou assumindo-os):
c_{\text{água}} = 4,18\\ \mathrm{J/(g\cdot^\circ C)},\qquad c_{\text{gelo}} = 2,09\\ \mathrm{J/(g\cdot^\circ C)},\qquad L_f = 334\\ \mathrm{J/g}.á
Declaro essas suposições porque o enunciado não dá constantes; são valores que costumam ser usados em exercícios.

Passo 3

Identificar os processos possíveis e qual caso analisar:
  • O gelo pode aquecer de -15^\circ\mathrm{C} até 0^\circ\mathrm{C}, depois pode derreter (se houver calor suficiente), e a água resultante pode aquecer acima de 0^\circ\mathrm{C}.
  • A água líquida pode esfriar de 5^\circ\mathrm{C} até 0^\circ\mathrm{C} (ou até outra temperatura final se todo o gelo derreter).
    Precisamos verificar se a água tem calor suficiente para levar todo o gelo até a fase líquida e a uma temperatura final positiva. Primeiro calculemos o calor total necessário para levar todo o gelo de -15^\circ\mathrm{C} até água líquida a 0^\circ\mathrm{C} (aquecimento + fusão).
Calor para aquecer o gelo de -15^\circ\mathrm{C} até 0^\circ\mathrm{C}:
Q_1 = m_{\text{gelo}}\,c_{\text{gelo}}\,(0-(-15)) = 100\cdot 2{,}09\cdot 15.
Calculemos:
Q_1 = 100\cdot 2{,}09\cdot 15 = 3\,135\\ \mathrm{J}.
Calor para fundir todo o gelo a 0^\circ\mathrm{C}:
Q_2 = m_{\text{gelo}}\,L_f = 100\cdot 334 = 33\,400\\ \mathrm{J}.
Somando, o calor total necessário para levar todo o gelo até água líquida em 0^\circ\mathrm{C} é
Q_{\text{necessário}} = Q_1 + Q_2 = 3\,135 + 33\,400 = 36\,535\\ \mathrm{J}.á

Passo 4

Calor disponível que a água pode ceder ao esfriar de 5^\circ\mathrm{C} até 0^\circ\mathrm{C}:
Q_{\text{disponível}} = m_{\text{água}}\,c_{\text{água}}\,(5-0) = 200\cdot 4{,}18\cdot 5.íáá
Calculemos:
Q_{\text{disponível}} = 200\cdot 4{,}18\cdot 5 = 4\,180\\ \mathrm{J}.í

Passo 5

Comparação e conclusão sobre a fase final:
Q_{\text{disponível}} = 4\,180\\ \mathrm{J}\quad\text{versus}\quad Q_{\text{necessário}} = 36\,535\\ \mathrm{J}.íá
A água não tem calor suficiente para aquecer e fundir todo o gelo. Isso significa que não haverá calor suficiente para levar todo o gelo a líquido e, portanto, o sistema alcançará equilíbrio na temperatura de fusão, ou seja, 0^\circ\mathrm{C}, com uma mistura de gelo + água em equilíbrio (parte do gelo permanece sólido).

Passo 6

Cálculo opcional (didático): quanto de gelo efetivamente derrete?
O calor disponível ao esfriar a água até 0^\circ\mathrm{C} (que é 4\,180\\ \mathrm{J}) será usado para:
  • aquecer parte do gelo de -15^\circ\mathrm{C} até 0^\circ\mathrm{C}, e
  • fundir essa parte aquecida.
    Se m_{\text{derretido}} for a massa de gelo que derreteu, então:
m_{\text{derretido}}\bigl(c_{\text{gelo}}\cdot 15 + L_f\bigr) = Q_{\text{disponível}}.í
Substituindo números:
m_{\text{derretido}}\bigl(2{,}09\cdot 15 + 334\bigr) = 4\,180.
Calcule o termo dentro do parêntese:
2{,}09\cdot 15 = 31{,}35\quad\Rightarrow\quad 31{,}35 + 334 = 365{,}35\\ \mathrm{J/g}.
Logo
m_{\text{derretido}} = \frac{4\,180}{365{,}35}\approx 11{,}44\\ \mathrm{g}.
Portanto cerca de 11{,}44\,\mathrm{g} do gelo derretem; sobra aproximadamente 100 - 11{,}44 = 88{,}56\,\mathrm{g} de gelo sólido. O sistema fica em equilíbrio à temperatura de fusão 0^\circ\mathrm{C}.

Passo 7

Interpretação física final e incentivo: como vimos, a água inicial não tinha energia suficiente para aquecer e fundir todo o gelo. Então o sistema termina como mistura água+gelo em equilíbrio térmico a 0^\circ\mathrm{C}. Ótimo trabalho de raciocínio — você já sabe identificar processos (aquecimento, fusão), aplicar Q=mc\Delta T e Q=mL e comparar calor disponível com calor necessário. Continua assim, que você está indo bem!

Resposta

0^\circ\mathrm{C}

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