3^{\mathrm{a}} questão. ( \mathbf{2 , 5} pts.) Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação linear cuja matriz na base canônica é dada por
A pergunta é: determinar a dimensão de \operatorname{Im}(T).]
Passo 2
Entendendo o que isso significa (rapidinho e de forma prática): a imagem \operatorname{Im}(T) é o subespaço de \mathbb{R}^3 gerado pelas colunas da matriz de T. Ou seja, se chamarmos as colunas de
temos \operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\{c_1,c_2,c_3\}. A dimensão de \operatorname{Im}(T) é o número de vetores linearmente independentes entre essas colunas, isto é, o posto (rank) da matriz. Para descobrir isso podemos ver se alguma coluna é combinação linear das outras ou fazer eliminação.]
Passo 3
Vou tentar encontrar relações entre as colunas. Calculo c_1+c_2:
Isso mostra que c_3 é dependente linearmente de c_1 e c_2, então não precisamos de c_3 para gerar a imagem.]
Passo 4
Agora preciso verificar se c_1\) e \(c_2\) são linearmente independentes. Para isso suponho que exista \(a,b\in\mathbb{R}\) com
\[a\,c_1+b\,c_2=\mathbf{0}.
Da primeira equação vem a=-3b\]. Substituindo na segunda: \(3(-3b)+4b=-9b+4b=-5b=0, logo b=0. Então a=-3\cdot 0=0. Assim a única solução é a=b=0, logo c_1 e c_2 são linearmente independentes.]
Passo 5
Concluímos que entre as três colunas existem exatamente duas linearmente independentes (por exemplo c_1 e c_2), enquanto c_3 é combinação linear delas. Portanto o posto da matriz é 2, e isso é exatamente a dimensão de \operatorname{Im}(T). (Em palavras: a imagem é um plano passando pela origem em \mathbb{R}^3.)