3^{\mathrm{a}} questão. ( \mathbf{2 , 5} pts.) Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação linear cuja matriz na base canônica é dada por
[T]_{e \varepsilon}=\left(\begin{array}{rrr} 1 & 3 & 4 \\\\ 3 & 4 & 7 \\\\ -2 & 2 & 0 \end{array}\right)
(b) (0,5 pt.) Determine a dimensão de \operatorname{Im}(T).

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 cuja matriz na base canônica é
[T]_{e\varepsilon}=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 4\\[4pt] 3 & 4 & 7\\[4pt] -2 & 2 & 0 \end{pmatrix}.
A pergunta é: determinar a dimensão de \operatorname{Im}(T).]

Passo 2

Entendendo o que isso significa (rapidinho e de forma prática): a imagem \operatorname{Im}(T) é o subespaço de \mathbb{R}^3 gerado pelas colunas da matriz de T. Ou seja, se chamarmos as colunas de
c_1=\begin{pmatrix}1\\[2pt]3\\[2pt]-2\end{pmatrix},\qquad c_2=\begin{pmatrix}3\\[2pt]4\\[2pt]2\end{pmatrix},\qquad c_3=\begin{pmatrix}4\\[2pt]7\\[2pt]0\end{pmatrix},
temos \operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\{c_1,c_2,c_3\}. A dimensão de \operatorname{Im}(T) é o número de vetores linearmente independentes entre essas colunas, isto é, o posto (rank) da matriz. Para descobrir isso podemos ver se alguma coluna é combinação linear das outras ou fazer eliminação.]

Passo 3

Vou tentar encontrar relações entre as colunas. Calculo c_1+c_2:
c_1+c_2=\begin{pmatrix}1\\[2pt]3\\[2pt]-2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\\[2pt]4\\[2pt]2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1+3\\[2pt]3+4\\[2pt]-2+2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4\\[2pt]7\\[2pt]0\end{pmatrix}.
Portanto
c_3=c_1+c_2.
Isso mostra que c_3 é dependente linearmente de c_1 e c_2, então não precisamos de c_3 para gerar a imagem.]

Passo 4

Agora preciso verificar se c_1\) e \(c_2\) são linearmente independentes. Para isso suponho que exista \(a,b\in\mathbb{R}\) com \[a\,c_1+b\,c_2=\mathbf{0}.
Escrevendo coordenada a coordenada:
\begin{cases} a+3b=0,\\[4pt] 3a+4b=0,\\[4pt] -2a+2b=0. \end{cases}
Da primeira equação vem a=-3b\]. Substituindo na segunda: \(3(-3b)+4b=-9b+4b=-5b=0, logo b=0. Então a=-3\cdot 0=0. Assim a única solução é a=b=0, logo c_1 e c_2 são linearmente independentes.]

Passo 5

Concluímos que entre as três colunas existem exatamente duas linearmente independentes (por exemplo c_1 e c_2), enquanto c_3 é combinação linear delas. Portanto o posto da matriz é 2, e isso é exatamente a dimensão de \operatorname{Im}(T). (Em palavras: a imagem é um plano passando pela origem em \mathbb{R}^3.)

Resposta

2

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