3^{\mathrm{a}} questão. ( \mathbf{2 , 5} pts.) Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação linear cuja matriz na base canônica é dada por
[T]_{e \varepsilon}=\left(\begin{array}{rrr} 1 & 3 & 4 \\\\ 3 & 4 & 7 \\\\ -2 & 2 & 0 \end{array}\right)
(a) (1,0 pt.) Determine uma base de Nuc(T)

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 cuja matriz na base canônica é
[T]_{e\varepsilon}=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 4\\[4pt] 3 & 4 & 7\\[4pt] -2 & 2 & 0 \end{pmatrix}.
A pergunta (parte (a)) é: determine uma base de \mathrm{Nuc}(T), isto é, do núcleo (núcleo = conjunto de vetores v\in\mathbb{R}^3 tais que T(v)=0).
Informações relevantes que temos:
  • A matriz A de T (na base canônica) é a matriz acima.
  • Para achar \mathrm{Nuc}(T) precisamos resolver o sistema homogêneo A x=0, com x\in\mathbb{R}^3.]

Passo 2

O que significa resolver A x=0 e como vamos fazer isso (explicação didática):
  • x é o vetor incógnita \;x=(x_1,x_2,x_3)^T.
  • O núcleo é o espaço de soluções do sistema linear homogêneo
A x=0.
  • Método prático: aplicar eliminação de Gauss (redução por linhas) para achar relações entre as variáveis, identificar variáveis pivô e variáveis livres, e expressar todas as soluções em termos de parâmetros. Depois extrair vetores geradores (uma base) do espaço solução.
    Vou fazer isso passo a passo, explicando cada operação.

Passo 3

Escrevo o sistema matricial e começo a eliminação. Matriz associada (sem coluna de termos independentes porque é homogêneo):
\begin{pmatrix} 1 & 3 & 4\\[4pt] 3 & 4 & 7\\[4pt] -2 & 2 & 0 \end{pmatrix}.
Primeiro passo: usar o elemento 1 da primeira linha como pivô e zerar abaixo.
Faço as operações:
  • R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1,
  • R_3 \leftarrow R_3 + 2R_1.
Calculemos cada nova linha:
  • Para R_2: (3,4,7)-3(1,3,4)=(3-3,\,4-9,\,7-12)=(0,-5,-5).
  • Para R_3: (-2,2,0)+2(1,3,4)=(-2+2,\,2+6,\,0+8)=(0,8,8).
A matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & 3 & 4\\[4pt] 0 & -5 & -5\\[4pt] 0 & 8 & 8 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora uso o pivô da segunda linha (entrada -5 na posição (2,2)) para zerar a entrada abaixo (posição (3,2)).
Faço a operação
R_3 \leftarrow R_3 + \frac{8}{5}R_2.
Verificação numérica:
  • R_3 atual é (0,8,8).
  • \frac{8}{5}R_2 = \frac{8}{5}(0,-5,-5)=(0,-8,-8).
    Somando: (0,8,8)+(0,-8,-8)=(0,0,0).
Assim a matriz em forma escalonada é
\begin{pmatrix} 1 & 3 & 4\\[4pt] 0 & -5 & -5\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Interpretação das equações correspondentes à forma escalonada:
  • Da segunda linha: -5x_2 -5x_3 = 0. Dividindo por -5: x_2 + x_3 = 0. Logo
x_2 = -x_3.
  • Da primeira linha: x_1 + 3x_2 + 4x_3 = 0. Substituindo x_2=-x_3
x_1 + 3(-x_3) + 4x_3 = x_1 + (-3+4)x_3 = x_1 + x_3 = 0,
logo
x_1 = -x_3.
Temos uma variável livre: x_3 (posso chamá-la de parâmetro t). Portanto todas as soluções são
\begin{pmatrix}x_1\\[4pt]x_2\\[4pt]x_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-t\\[4pt]-t\\[4pt]t\end{pmatrix} = t\begin{pmatrix}-1\\[4pt]-1\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad t\in\mathbb{R}.]

Passo 6

Conclusão sobre núcleo e base (explicação didática final):
  • O conjunto de soluções forma um subespaço unidimensional gerado pelo vetor \begin{pmatrix}-1\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix}.
  • Esse vetor é não nulo e gera todas as soluções (qualquer solução é um múltiplo escalar dele), e é linearmente independente por ser um único vetor não nulo. Logo uma base do núcleo é
    \{\;(-1,-1,1)\;\}.
Pequena observação extra (útil para a prova): isto mostra que \dim\mathrm{Nuc}(T)=1. Pelo teorema do posto e nulidade, o posto de A é 2 (porque há duas linhas independentes nas primeiras duas linhas escalonadas).

Resposta

\{(-1,-1,1)\}

Exercícios relacionados