3^{\mathrm{a}} questão. ( \mathbf{2 , 5} pts.) Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação linear cuja matriz na base canônica é dada por
A pergunta (parte (a)) é: determine uma base de \mathrm{Nuc}(T), isto é, do núcleo (núcleo = conjunto de vetores v\in\mathbb{R}^3 tais que T(v)=0).
Informações relevantes que temos:
A matriz A de T (na base canônica) é a matriz acima.
Para achar \mathrm{Nuc}(T) precisamos resolver o sistema homogêneo A x=0, com x\in\mathbb{R}^3.]
Passo 2
O que significa resolver A x=0 e como vamos fazer isso (explicação didática):
x é o vetor incógnita \;x=(x_1,x_2,x_3)^T.
O núcleo é o espaço de soluções do sistema linear homogêneo
A x=0.
Método prático: aplicar eliminação de Gauss (redução por linhas) para achar relações entre as variáveis, identificar variáveis pivô e variáveis livres, e expressar todas as soluções em termos de parâmetros. Depois extrair vetores geradores (uma base) do espaço solução.
Vou fazer isso passo a passo, explicando cada operação.
Passo 3
Escrevo o sistema matricial e começo a eliminação. Matriz associada (sem coluna de termos independentes porque é homogêneo):
Conclusão sobre núcleo e base (explicação didática final):
O conjunto de soluções forma um subespaço unidimensional gerado pelo vetor \begin{pmatrix}-1\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix}.
Esse vetor é não nulo e gera todas as soluções (qualquer solução é um múltiplo escalar dele), e é linearmente independente por ser um único vetor não nulo. Logo uma base do núcleo é \{\;(-1,-1,1)\;\}.
Pequena observação extra (útil para a prova): isto mostra que \dim\mathrm{Nuc}(T)=1. Pelo teorema do posto e nulidade, o posto de A é 2 (porque há duas linhas independentes nas primeiras duas linhas escalonadas).