2^{\mathrm{a}} questão. ( \mathbf{2 , 5} pts.) Sejam \beta_{1}, \beta_{2} duas bases fixadas de um espaço vetorial V e W o subconjunto de V definido por
(b) (1,5 pt.) Determine W quando V=\mathbb{R}^{3}, \beta_{1}=\{(1,-4,-3),(0,3,0),(0,0,2)\} e \beta_{2}=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}.
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte.
Espaço vetorial: \mathbb{R}^{3}.
Base \beta_{1}=\{(1,-4,-3),(0,3,0),(0,0,2)\}. Vou chamar esses vetores deb_{1}=(1,-4,-3),\qquad b_{2}=(0,3,0),\qquad b_{3}=(0,0,2).
Base \beta_{2}=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}, que é a base canônica (padrão).
Conjunto pedido:W:=\{v\in V : [v]_{\beta_{1}}=[v]_{\beta_{2}}\}.
O que precisamos determinar é o subconjunto W\subset\mathbb{R}^{3}, ou seja, todos os vetores v cuja coordenada em relação à base \beta_{1} é igual à coordenada em relação à base canônica \beta_{2}.
Passo 2
Explicar o significado das coordenadas.
Se [v]_{\beta_{1}}=(x,y,z) isso significa, por definição de coordenadas em uma base, que
v = x\,b_{1}+y\,b_{2}+z\,b_{3}.
Aqui x,y,z\in\mathbb{R} são as componentes do vetor v no sistema de coordenadas dado por \beta_{1}.
Se [v]_{\beta_{2}]=(v_{1},v_{2},v_{3}) e \beta_{2} é a base canônica, então [v]_{\beta_{2}} são exatamente as componentes usuais do vetor v no \mathbb{R}^{3}, isto é,
v=(v_{1},v_{2},v_{3})
em coordenadas padrão.
A condição do problema é que esses dois vetores de coordenadas sejam iguais:
[v]_{\beta_{1}}=[v]_{\beta_{2}].
Passo 3
Introduzir incógnitas e escrever a igualdade explicitamente.
Sejam (x,y,z) as coordenadas comuns, isto é, assumimos
[v]_{\beta_{1}}=[v]_{\beta_{2}}=(x,y,z).
Pelo que escrevemos antes, isso implica duas representações do mesmo v:
v=(x,y,z)
e
v = x\,b_{1}+y\,b_{2}+z\,b_{3}.
Portanto devemos resolver a igualdade vetorial
(x,y,z)=x(1,-4,-3)+y(0,3,0)+z(0,0,2).
Passo 4
Calcular o lado direito compondo os vetores e igualar componente a componente.
Igualando isso a (x,y,z) obtemos o sistema de equações por componentes:
\begin{cases} x = x,\\[4pt] y = -4x + 3y,\\[4pt] z = -3x + 2z. \end{cases}]
Passo 5
Resolver o sistema passo a passo.
A primeira equação x=x é tautológica e não impõe restrição (portanto x é variável livre).
Segunda equação:
y = -4x + 3y.
Passo algébrico: subtrair 3y dos dois lados:
y-3y = -4x \quad\Longrightarrow\quad -2y = -4x.
Dividindo por -2:
y = 2x.
Terceira equação:
z = -3x + 2z.
Subtrair 2z dos dois lados:
z-2z = -3x \quad\Longrightarrow\quad -z = -3x.
Multiplicando por -1:
z = 3x.
Assim as componentes y e z ficam em função de x:
y=2x,\qquad z=3x,
com x livre.
Passo 6
Descrever o conjunto W explicitamente.
Os vetores v\in W têm coordenadas (x,y,z)=(x,2x,3x). Podemos fatorar x:
v = x(1,2,3).
Logo W é a reta (subespaço unidimensional) gerada por (1,2,3), isto é, o subespaço
W=\mathrm{span}\{(1,2,3)\}.
Um pequeno check rápido (verificação): para x=1, o vetor v=(1,2,3). Suas coordenadas na base canônica são (1,2,3). Agora escrever em \beta_{1}: 1\cdot b_{1}+2\cdot b_{2}+3\cdot b_{3} =(1,-4,-3)+2(0,3,0)+3(0,0,2)=(1,2,3). As coordenadas em \beta_{1} também são (1,2,3). Portanto funciona.