Questão ( 1,5 ponto): Uma linha de carga com
está localizada ao longo da reta
e
no vácuo. Determinar o vetor intensidade de campo elétrico
em
. Sabendo que a expressão para cálculo do campo elétrico de uma linha de cargas é dada pela seguinte expressão:
Passo 1
O enunciado pede para determinar o vetor intensidade de campo elétrico
no ponto
devido a uma linha de carga com densidade linear
localizada ao longo da reta
(interpretarei isto como a linha paralela ao eixo
que passa pelo ponto
no plano
; isto é, todos os pontos
). Informações dadas e observações importantes:
Observação sobre
: vou interpretar o símbolo
como a notação de micro (
), ou seja
. Assim
Não farei outras suposições. A resolução começa no Passo 2.
Passo 2
Explicação da fórmula e das variáveis (mini-aula):
A expressão
A expressão
é o resultado do Teorema de Gauss aplicado a uma linha de carga infinitamente longa e uniforme. Aqui:
-
é a densidade linear de carga (coulomb por metro). -
é a permissividade do vácuo ( ). -
(leia “rho”, não confundir com ) é a distância perpendicular da linha de carga até o ponto onde se calcula o campo; é sempre positiva. -
é o versor (vetor unitário) que aponta radialmente do eixo da linha até o ponto considerado, no plano perpendicular à linha (aqui o plano ), indicando a direção do campo se ; se o campo aponta no sentido oposto a .
A razão física: o campo decai comoe a constante vem da simetria cilíndrica.
Passo 3
Calcular a distância perpendicular
e o vetor direção:
A linha está em . O ponto
tem coordenadas
. A componente z não participa da distância perpendicular à linha (linha é paralela a
), então fazemos a diferença no plano
:
A linha está em
A distância perpendicular é o comprimento desse vetor no plano
:
Passo 4
Calcular o versor
(direção radial do eixo da linha para
):
Numericamente:
Passo 5
Calcular o módulo do campo usando a fórmula e os valores numéricos:
Substituindo
(o valor negativo só define direção),
e
:
Então
Portanto o módulo do campo vale
O sinal negativo de
indica que o vetor
aponta no sentido oposto a
(ou seja, dirigido do ponto
em direção à linha).
Passo 6
Calcular os componentes do vetor
:
Multiplicando:
Portanto