1^{\mathrm{a}} Questão ( 1,5 ponto): Uma linha de carga com \rho_{\mathrm{L}}=-100 \eta \mathrm{C} / \mathrm{m} está localizada ao longo da reta x=1, y=2 e z=5 no vácuo. Determinar o vetor intensidade de campo elétrico \vec{E} em \mathrm{P}(2,5,5). Sabendo que a expressão para cálculo do campo elétrico de uma linha de cargas é dada pela seguinte expressão:
\vec{E}=\frac{\rho_{L}}{2 \pi \varepsilon_{0} \rho} \vec{a}_{\rho}[N / C] \text { e } \vec{D}=\varepsilon_{0} \vec{E}

Passo 1

O enunciado pede para determinar o vetor intensidade de campo elétrico \vec{E} no ponto P(2,5,5) devido a uma linha de carga com densidade linear \rho_{L}=-100\\ \eta\\ \mathrm{C/m} localizada ao longo da reta x=1,\\ y=2 (interpretarei isto como a linha paralela ao eixo z que passa pelo ponto (1,2) no plano xy; isto é, todos os pontos (1,2,z)). Informações dadas e observações importantes:
\begin{aligned} &\text{Densidade linear:}\quad \rho_{L}=-100\\ \eta\\ \mathrm{C/m}.\\\ &\text{Posição da linha:}\quad (x,y)=(1,2)\\ \text{(para todo \(z\))}.\\ &\text{Ponto onde queremos \(\vec{E}\):}\quad P(2,5,5).\\ &\text{Fórmula fornecida:}\quad \vec{E}=\frac{\rho_{L}}{2\pi\varepsilon_{0}\,\rho}\,\vec{a}_{\rho}. \end{aligned}çãó
Observação sobre \eta: vou interpretar o símbolo \eta como a notação de micro ( \mu), ou seja \eta=\mu=10^{-6}. Assim
\rho_{L}=-100\\ \mu\mathrm{C/m}=-100\times10^{-6}\\ \mathrm{C/m}=-1{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{C/m}.
Não farei outras suposições. A resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Explicação da fórmula e das variáveis (mini-aula):
A expressão
\vec{E}=\frac{\rho_{L}}{2\pi\varepsilon_{0}\,\rho}\,\vec{a}_{\rho}
é o resultado do Teorema de Gauss aplicado a uma linha de carga infinitamente longa e uniforme. Aqui:
  • \rho_{L} é a densidade linear de carga (coulomb por metro).
  • \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo ( \varepsilon_{0}\approx8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}).
  • \rho (leia “rho”, não confundir com \rho_{L}) é a distância perpendicular da linha de carga até o ponto onde se calcula o campo; é sempre positiva.
  • \vec{a}_{\rho} é o versor (vetor unitário) que aponta radialmente do eixo da linha até o ponto considerado, no plano perpendicular à linha (aqui o plano xy), indicando a direção do campo se \rho_{L}>0; se \rho_{L}<0 o campo aponta no sentido oposto a \vec{a}_{\rho}.
    A razão física: o campo decai como 1/\rho e a constante 2\pi\varepsilon_{0} vem da simetria cilíndrica.

Passo 3

Calcular a distância perpendicular \rho e o vetor direção:
A linha está em (x,y)=(1,2). O ponto P tem coordenadas (2,5,5). A componente z não participa da distância perpendicular à linha (linha é paralela a z), então fazemos a diferença no plano xy:
\text{vetor do eixo da linha até }P:\quad \Delta \vec{r}=(2-1)\,\vec{a}_{x}+(5-2)\,\vec{a}_{y}=(1)\,\vec{a}_{x}+(3)\,\vec{a}_{y}.é
A distância perpendicular é o comprimento desse vetor no plano xy:
\rho=\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{10}.

Passo 4

Calcular o versor \vec{a}_{\rho} (direção radial do eixo da linha para P):
\vec{a}_{\rho}=\frac{1}{\rho}\big(1\,\vec{a}_{x}+3\,\vec{a}_{y}\big)=\frac{1}{\sqrt{10}}\,\vec{a}_{x}+\frac{3}{\sqrt{10}}\,\vec{a}_{y}.
Numericamente:
\frac{1}{\sqrt{10}}\approx0{,}31622777,\qquad \frac{3}{\sqrt{10}}\approx0{,}9486833.

Passo 5

Calcular o módulo do campo usando a fórmula e os valores numéricos:
|\vec{E}|=\frac{|\rho_{L}|}{2\pi\varepsilon_{0}\,\rho}.
Substituindo \rho_{L}=-1{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{C/m} (o valor negativo só define direção), \varepsilon_{0}=8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m} e \rho=\sqrt{10}:
2\pi\varepsilon_{0}=2\pi(8{,}854187817\times10^{-12})\approx5{,}5636\times10^{-11}.
Então
2\pi\varepsilon_{0}\,\rho\approx (5{,}5636\times10^{-11})\times\sqrt{10}\approx1{,}7600\times10^{-10}.
Portanto o módulo do campo vale
|\vec{E}|=\frac{1{,}0\times10^{-4}}{1{,}7600\times10^{-10}}\approx5{,}68\times10^{5}\\ \mathrm{N/C}.
O sinal negativo de \rho_{L} indica que o vetor \vec{E} aponta no sentido oposto a \vec{a}_{\rho} (ou seja, dirigido do ponto P em direção à linha).

Passo 6

Calcular os componentes do vetor \vec{E}:
\vec{E}=\frac{\rho_{L}}{2\pi\varepsilon_{0}\,\rho}\,\vec{a}_{\rho} = -|\vec{E}|\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\,\vec{a}_{x}+\frac{3}{\sqrt{10}}\,\vec{a}_{y}\right).
Multiplicando:
\begin{aligned} E_{x}&\approx -5{,}68\times10^{5}\times0{,}31622777\approx -1{,}80\times10^{5}\\ \mathrm{N/C},\\[4pt] E_{y}&\approx -5{,}68\times10^{5}\times0{,}9486833\approx -5{,}39\times10^{5}\\ \mathrm{N/C},\\[4pt] E_{z}&=0\\ \mathrm{N/C}\quad(\text{simetria; não há componente axial}). \end{aligned}ãá
Portanto
\vec{E}\approx -1{,}80\times10^{5}\,\vec{a}_{x}\;-\;5{,}39\times10^{5}\,\vec{a}_{y}\\ \mathrm{N/C}.]

Resposta

\displaystyle \vec{E}\approx -1{,}80\times10^{5}\,\vec{a}_{x}-5{,}39\times10^{5}\,\vec{a}_{y}\\ \mathrm{N/C}

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