3^{\mathrm{a}} Questão (2 pontos): Calcule a integral: \int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{3-2 x+x^{2}}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{3-2x+x^{2}}}\,dx.
Informações importantes dadas:
\text{intervalo: } x\in[0,1],
\text{integrando: } \frac{x}{\sqrt{3-2x+x^{2}}}.
A tarefa é encontrar o valor numérico exato dessa integral.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a expressão dentro da raiz fazendo o quadrado completo. Observe que
3-2x+x^{2}=x^{2}-2x+3=(x-1)^{2}+2.
Isso é útil porque transforma a raiz numa forma do tipo \sqrt{(x-1)^{2}+a^{2}}, que admite substituições e fórmulas padrões.

Passo 3

Façamos a substituição que desloca o centro do quadrado completo:
u=x-1.
Então
x=u+1,
e ao trocar os limites: quando x=0 temos u=-1; quando x=1 temos u=0. A integral se transforma em
\int_{-1}^{0}\frac{u+1}{\sqrt{u^{2}+2}}\,du.

Passo 4

Separe a integral em duas partes (linearidade da integral):
\int_{-1}^{0}\frac{u+1}{\sqrt{u^{2}+2}}\,du = \int_{-1}^{0}\frac{u}{\sqrt{u^{2}+2}}\,du + \int_{-1}^{0}\frac{1}{\sqrt{u^{2}+2}}\,du.
Assim tratamos cada termo com a técnica apropriada.

Passo 5

Integramos o primeiro termo. Há uma fórmula simples que podemos demonstrar rapidamente: para a>0,
\frac{d}{du}\sqrt{u^{2}+a^{2}}=\frac{u}{\sqrt{u^{2}+a^{2}}}.
Portanto
\int \frac{u}{\sqrt{u^{2}+a^{2}}}\,du=\sqrt{u^{2}+a^{2}}+C.
No nosso caso a^{2}=2, então
\int_{-1}^{0}\frac{u}{\sqrt{u^{2}+2}}\,du=\Big[\sqrt{u^{2}+2}\Big]_{u=-1}^{u=0} =\sqrt{0^{2}+2}-\sqrt{(-1)^{2}+2}=\sqrt{2}-\sqrt{3}.

Passo 6

Agora o segundo termo. A integral padrão é
\int \frac{du}{\sqrt{u^{2}+a^{2}}}=\ln\big|u+\sqrt{u^{2}+a^{2}}\big|+C,
ou equivalentemente \operatorname{arsinh}\!\left(\frac{u}{a}\right) mais constante. Podemos usar a forma logarítmica. Com a^{2}=2,
\int_{-1}^{0}\frac{du}{\sqrt{u^{2}+2}}=\Big[\ln\big(u+\sqrt{u^{2}+2}\big)\Big]_{u=-1}^{u=0}.
Note que os argumentos dentro do log, avaliados nos limites, são positivos (em u=-1 temos -1+\sqrt{3}>0), então podemos omitir as barras de valor absoluto.

Passo 7

Avalie o logaritmo nos limites:
\Big[\ln\big(u+\sqrt{u^{2}+2}\big)\Big]_{-1}^{0} =\ln\big(0+\sqrt{2}\big)-\ln\big(-1+\sqrt{3}\big) =\ln(\sqrt{2})-\ln(\sqrt{3}-1).

Passo 8

Some as duas partes obtidas nos Passos 5 e 7:
\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{3-2x+x^{2}}}\,dx =(\sqrt{2}-\sqrt{3})+\big(\ln(\sqrt{2})-\ln(\sqrt{3}-1)\big).
Podemos combinar os logaritmos:
\ln(\sqrt{2})-\ln(\sqrt{3}-1)=\ln\!\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}-1}\right).

Passo 9

Se quisermos uma forma alternativa sem denominador irracional dentro do log, racionalizamos \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}-1}:
\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}-1}\cdot\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1}=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3})^{2}-1^{2}}=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}{2}.
Assim a parte logarítmica vira
\ln\!\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}-1}\right)=\ln\!\left(\frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}{2}\right).
Ambas as formas são equivalentes; a escolha é de gosto.

Resposta

\sqrt{2}-\sqrt{3}+\ln\!\left(\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}-1}\right)

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