Questão (2 pontos): Calcule a integral:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações importantes dadas:
A tarefa é encontrar o valor numérico exato dessa integral.
Passo 2
Primeiro vamos simplificar a expressão dentro da raiz fazendo o quadrado completo. Observe que
Isso é útil porque transforma a raiz numa forma do tipo
, que admite substituições e fórmulas padrões.
Passo 3
Façamos a substituição que desloca o centro do quadrado completo:
Então
e ao trocar os limites: quando
temos
; quando
temos
. A integral se transforma em
Passo 4
Separe a integral em duas partes (linearidade da integral):
Assim tratamos cada termo com a técnica apropriada.
Passo 5
Integramos o primeiro termo. Há uma fórmula simples que podemos demonstrar rapidamente: para
,
Portanto
No nosso caso
, então
Passo 6
Agora o segundo termo. A integral padrão é
ou equivalentemente
mais constante. Podemos usar a forma logarítmica. Com
,
Note que os argumentos dentro do log, avaliados nos limites, são positivos (em
temos
), então podemos omitir as barras de valor absoluto.
Passo 7
Avalie o logaritmo nos limites:
Passo 8
Some as duas partes obtidas nos Passos 5 e 7:
Podemos combinar os logaritmos:
Passo 9
Se quisermos uma forma alternativa sem denominador irracional dentro do log, racionalizamos
:
Assim a parte logarítmica vira
Ambas as formas são equivalentes; a escolha é de gosto.