Analise a expressão dada abaixo:
Representa uma
Equação diferencial de primeira ordem.
Equação diferencial de segunda ordem.
Equação diferencial de ordem n.
Equação linear de primeira ordem.
Equação transcendental de primeira ordem.
Passo 1
O enunciado pede que a expressão abaixo seja classificada (escolher qual das opções é correta):
Informações dadas que vou usar: a expressão contém a notação
e termos envolvendo a variável
(como
,
e o número
). As alternativas possíveis são as listadas no enunciado.
Passo 2
Vamos entender o que significa a notação
. Essa é a segunda derivada de
em relação a
. Em palavras simples:
é a taxa de variação de
em relação a
(a derivada primeira) e
mede a taxa de variação dessa taxa (a derivada segunda). Aqui aparece explicitamente a segunda derivada, ou seja há um termo de ordem 2 na equação.
Definição importante (explicando passo a passo): a ordem de uma equação diferencial é o maior índice de derivada da função desconhecida que aparece na equação. Por exemplo:
- Se só aparece
e não aparece , a ordem é 1. - Se aparece
(mesmo que não apareça nem ), a ordem é 2.
Na nossa expressão a maior derivada que aparece é, portanto a ordem da equação é 2. Isso já indica que a alternativa correta é alguma que diga “segunda ordem”.
Passo 3
Agora vale checar outras classificações para evitar confusão com as alternativas: a equação é ou não linear? Uma equação diferencial é linear se a função
e suas derivadas aparecem só em potência
(sem multiplicação entre
e suas derivadas, sem termos como
,
, etc.), e os coeficientes podem ser funções de
. Na nossa expressão a única aparição de
é em
(aparece linearmente) e os demais termos são funções de
ou constantes. Logo a equação é linear e, especificamente, é uma equação diferencial linear de ordem 2. Observação: nenhuma das alternativas dá exatamente “equação diferencial linear de segunda ordem”, mas há uma alternativa genérica “Equação diferencial de segunda ordem”, que é correta quanto à ordem.
Passo 4
Para ficar mais claro, simplificamos a expressão movendo os termos conhecidos para o outro lado:
somamos
em ambos os lados:
Essa forma mostra claramente que a equação envolve a derivada segunda de
igual a uma função de
. Não há
nem
nem potências não-lineares de
. Portanto é uma equação diferencial cuja ordem é 2.
Passo 5
Comparando com as alternativas do enunciado:
- “Equação diferencial de primeira ordem” — incorreto (aparece derivada segunda).
- “Equação diferencial de segunda ordem” — correto (maior derivada é de ordem 2).
- “Equação diferencial de ordem n” — muito genérico; embora verdadeira em sentido amplo, a alternativa específica segunda ordem é mais adequada.
- “Equação linear de primeira ordem” — incorreto (não é de ordem 1).
- “Equação transcendental de primeira ordem” — incorreto (não é de ordem 1 nem do tipo transcendental envolvendo funções como
, etc.).
Resposta
Equação diferencial de segunda ordem.