Analise a expressão dada abaixo:
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-4 \cdot x+1=2
Representa uma
\bigcirc Equação diferencial de primeira ordem.
\bigcirc Equação diferencial de segunda ordem.
\bigcirc Equação diferencial de ordem n.
\bigcirc Equação linear de primeira ordem.
\bigcirc Equação transcendental de primeira ordem.

Passo 1

O enunciado pede que a expressão abaixo seja classificada (escolher qual das opções é correta):
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-4 \cdot x+1=2
Informações dadas que vou usar: a expressão contém a notação \frac{d^{2}y}{dx^{2}} e termos envolvendo a variável x (como -4\cdot x, +1 e o número 2). As alternativas possíveis são as listadas no enunciado.

Passo 2

Vamos entender o que significa a notação \frac{d^{2}y}{dx^{2}}. Essa é a segunda derivada de y em relação a x. Em palavras simples: \frac{dy}{dx} é a taxa de variação de y em relação a x (a derivada primeira) e \frac{d^{2}y}{dx^{2}} mede a taxa de variação dessa taxa (a derivada segunda). Aqui aparece explicitamente a segunda derivada, ou seja há um termo de ordem 2 na equação.
Definição importante (explicando passo a passo): a ordem de uma equação diferencial é o maior índice de derivada da função desconhecida que aparece na equação. Por exemplo:
  • Se só aparece \frac{dy}{dx} e não aparece \frac{d^{2}y}{dx^{2}}, a ordem é 1.
  • Se aparece \frac{d^{2}y}{dx^{2}} (mesmo que não apareça \frac{dy}{dx} nem y), a ordem é 2.
    Na nossa expressão a maior derivada que aparece é \frac{d^{2}y}{dx^{2}}, portanto a ordem da equação é 2. Isso já indica que a alternativa correta é alguma que diga “segunda ordem”.

Passo 3

Agora vale checar outras classificações para evitar confusão com as alternativas: a equação é ou não linear? Uma equação diferencial é linear se a função y e suas derivadas aparecem só em potência 1 (sem multiplicação entre y e suas derivadas, sem termos como y^2, \sin(y), etc.), e os coeficientes podem ser funções de x. Na nossa expressão a única aparição de y é em \frac{d^{2}y}{dx^{2}} (aparece linearmente) e os demais termos são funções de x ou constantes. Logo a equação é linear e, especificamente, é uma equação diferencial linear de ordem 2. Observação: nenhuma das alternativas dá exatamente “equação diferencial linear de segunda ordem”, mas há uma alternativa genérica “Equação diferencial de segunda ordem”, que é correta quanto à ordem.

Passo 4

Para ficar mais claro, simplificamos a expressão movendo os termos conhecidos para o outro lado:
\frac{d^{2}y}{d x^{2}}-4\cdot x+1=2
somamos 4\cdot x-1 em ambos os lados:
\frac{d^{2}y}{d x^{2}} = 2 + 4\cdot x - 1
\frac{d^{2}y}{d x^{2}} = 4\cdot x + 1
Essa forma mostra claramente que a equação envolve a derivada segunda de y igual a uma função de x. Não há \frac{dy}{dx} nem y nem potências não-lineares de y. Portanto é uma equação diferencial cuja ordem é 2.

Passo 5

Comparando com as alternativas do enunciado:
  • “Equação diferencial de primeira ordem” — incorreto (aparece derivada segunda).
  • “Equação diferencial de segunda ordem” — correto (maior derivada é de ordem 2).
  • “Equação diferencial de ordem n” — muito genérico; embora verdadeira em sentido amplo, a alternativa específica segunda ordem é mais adequada.
  • “Equação linear de primeira ordem” — incorreto (não é de ordem 1).
  • “Equação transcendental de primeira ordem” — incorreto (não é de ordem 1 nem do tipo transcendental envolvendo funções como \sin(y), e^{y} etc.).

Resposta

Equação diferencial de segunda ordem.

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