No exemplo da Seção 76, usamos dois resíduos para calcular a integral
\int_{C} \frac{4 z-5}{z(z-1)} d z
em que C é o círculo |z|=2 orientado positivamente. Calcule essa integral mais uma vez usando o teorema da Seção 77 e encontrando apenas um resíduo.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{C} \frac{4 z-5}{z(z-1)}\,dz
onde C é o círculo |z|=2 orientado positivamente. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função integranda é f(z)=\dfrac{4z-5}{z(z-1)}.
  • O contorno C é o círculo de raio 2 centrado em 0, orientação positiva (sentido anti-horário).
  • Os pontos singulares (polos) da função racional são z=0 e z=1. Ambos satisfazem |z|<2, isto é, ambos estão dentro do círculo C.
  • A instrução adicional é usar o teorema da Seção 77 e encontrar apenas um resíduo (ou seja, usar um resíduo que permite obter a integral sem calcular separadamente os resíduos em z=0 e z=1).

Passo 2

Apresento a ideia e a ferramenta que vamos usar (explicada passo a passo).
  • Existe uma forma de relacionar a integral em torno de um grande círculo com o chamado resíduo no infinito. A fórmula que vamos usar é
\int_{C} f(z)\,dz = -2\pi i\,\operatorname{Res}\bigl(f,\infty\bigr),
onde \operatorname{Res}(f,\infty) é o resíduo de f no ponto infinito (definição abaixo).
  • Para calcular \operatorname{Res}(f,\infty) convenientemente, usamos a mudança de variável w=1/z. Se fizermos w=1/z então dz = -\dfrac{1}{w^{2}}\,dw e a imagem do círculo |z|=2 no plano w é o círculo |w|=\tfrac{1}{2}. A orientação se inverte (porque a transformação w=1/z inverte a orientação), o que gera um sinal negativo adicional. Da análise dessa mudança de variável obtém-se a relação prática
\operatorname{Res}\bigl(f,\infty\bigr) = -\operatorname{Res}_{w=0}\!\left(\frac{1}{w^{2}}\,f\!\bigl(\tfrac{1}{w}\bigr)\right).
Portanto, para obter \operatorname{Res}(f,\infty) basta calcular o resíduo em w=0 da função \dfrac{1}{w^{2}}f(1/w) e multiplicar por -1.

Passo 3

Vamos escrever explicitamente f(1/w) e simplificar passo a passo.
Começamos de
f(z)=\frac{4z-5}{z(z-1)}.
Substituindo z=\tfrac{1}{w} obtemos
f\!\bigl(\tfrac{1}{w}\bigr)=\frac{4\cdot\frac{1}{w}-5}{\frac{1}{w}\left(\frac{1}{w}-1\right)}.
Multiplicando numerador e denominador por w^{2} para simplificar:
f\!\bigl(\tfrac{1}{w}\bigr) = \frac{4w - 5w^{2}}{1 - w}.

Passo 4

Agora formamos a função cujo resíduo em w=0 precisamos calcular:
\frac{1}{w^{2}}\,f\!\bigl(\tfrac{1}{w}\bigr) = \frac{1}{w^{2}}\cdot\frac{4w - 5w^{2}}{1-w}.
Simplificando fator por fator:
\frac{1}{w^{2}}\,f\!\bigl(\tfrac{1}{w}\bigr) = \frac{4/w - 5}{1-w}.
Para extrair o resíduo em w=0 precisamos do coeficiente de w^{-1} na expansão em série de Laurent ao redor de w=0. Note que para |w|<1 (a condição vale pois na transformação |w|=\tfrac{1}{2}) temos
\frac{1}{1-w}=\sum_{n=0}^{\infty} w^{n}.
Multiplicando essa série por \left(\dfrac{4}{w}-5\right) obtemos
\frac{4/w - 5}{1-w} = \left(\frac{4}{w}-5\right)\sum_{n=0}^{\infty} w^{n} = 4\sum_{n=0}^{\infty} w^{n-1} -5\sum_{n=0}^{\infty} w^{n}.
Na primeira soma, o termo com w^{-1} corresponde a n=0 e vale 4w^{-1}. Na segunda soma não há termo em w^{-1} (todos os expoentes são \ge 0). Portanto o coeficiente de w^{-1} (o resíduo em w=0) é 4. Ou seja,
\operatorname{Res}_{w=0}\!\left(\frac{1}{w^{2}}\,f\!\bigl(\tfrac{1}{w}\bigr)\right)=4.
Usando a relação da Passo 2 para o resíduo no infinito,
\operatorname{Res}\bigl(f,\infty\bigr) = -\operatorname{Res}_{w=0}\!\left(\frac{1}{w^{2}}\,f\!\bigl(\tfrac{1}{w}\bigr)\right) = -4.

Passo 5

Aplicando a fórmula que relaciona a integral com o resíduo no infinito:
\int_{C} f(z)\,dz = -2\pi i\,\operatorname{Res}\bigl(f,\infty\bigr).
Substituímos \operatorname{Res}(f,\infty)=-4 na expressão acima para obter o valor final da integral (o cálculo numérico final será mostrado na seção de resposta).

Resposta

8\pi i

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