No exemplo da Seção 76, usamos dois resíduos para calcular a integral
em que
é o círculo
orientado positivamente. Calcule essa integral mais uma vez usando o teorema da Seção 77 e encontrando apenas um resíduo.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
onde
é o círculo
orientado positivamente. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função integranda é
. - O contorno
é o círculo de raio centrado em , orientação positiva (sentido anti-horário). - Os pontos singulares (polos) da função racional são
e . Ambos satisfazem , isto é, ambos estão dentro do círculo . - A instrução adicional é usar o teorema da Seção 77 e encontrar apenas um resíduo (ou seja, usar um resíduo que permite obter a integral sem calcular separadamente os resíduos em
e ).
Passo 2
Apresento a ideia e a ferramenta que vamos usar (explicada passo a passo).
- Existe uma forma de relacionar a integral em torno de um grande círculo com o chamado resíduo no infinito. A fórmula que vamos usar é
onde
é o resíduo de
no ponto infinito (definição abaixo).
- Para calcular
convenientemente, usamos a mudança de variável . Se fizermos então e a imagem do círculo no plano é o círculo . A orientação se inverte (porque a transformação inverte a orientação), o que gera um sinal negativo adicional. Da análise dessa mudança de variável obtém-se a relação prática
Portanto, para obter
basta calcular o resíduo em
da função
e multiplicar por
.
Passo 3
Vamos escrever explicitamente
e simplificar passo a passo.
Começamos de
Começamos de
Substituindo
obtemos
Multiplicando numerador e denominador por
para simplificar:
Passo 4
Agora formamos a função cujo resíduo em
precisamos calcular:
Simplificando fator por fator:
Para extrair o resíduo em
precisamos do coeficiente de
na expansão em série de Laurent ao redor de
. Note que para
(a condição vale pois na transformação
) temos
Multiplicando essa série por
obtemos
Na primeira soma, o termo com
corresponde a
e vale
. Na segunda soma não há termo em
(todos os expoentes são
). Portanto o coeficiente de
(o resíduo em
) é
. Ou seja,
Usando a relação da Passo 2 para o resíduo no infinito,
Passo 5
Aplicando a fórmula que relaciona a integral com o resíduo no infinito:
Substituímos
na expressão acima para obter o valor final da integral (o cálculo numérico final será mostrado na seção de resposta).