2^{\mathrm{a}} QUESTÃO: \quad( VALOR =0,8)

A seguir foram feitas oito afirmações, onde cada uma delas foi representada por um numeral distinto:
  1. Duas retas concorrentes sempre serão coplanares.
  2. Duas retas ortogonais podem não possuir ponto em comum.
  3. Três pontos distintos sempre determinam um plano.
  4. Uma reta e um ponto externo a essa reta, sempre determinam um plano.
  5. Duas retas concorrentes sempre determinam um plano.
  6. Dois planos não paralelos sempre possuem como interseção uma reta.
  7. Três planos, tal que, dois a dois nunca são paralelos, sempre possuirão interseção não vazia.
  8. Para se calcular o ângulo entre uma reta r e um plano \alpha, de modo que r é secante a \alpha, devemos determinar o ângulo entre r e a projeção ortogonal de r sobre \alpha.
Determine a soma entre os numerais das afirmações que estão corretas.

Passo 1

O enunciado apresenta oito afirmações numeradas e pede: determinar a soma entre os numerais das afirmações que estão corretas. As afirmações (copiadas do enunciado) são:
  1. Duas retas concorrentes sempre serão coplanares.
  2. Duas retas ortogonais podem não possuir ponto em comum.
  3. Três pontos distintos sempre determinam um plano.
  4. Uma reta e um ponto externo a essa reta, sempre determinam um plano.
  5. Duas retas concorrentes sempre determinam um plano.
  6. Dois planos não paralelos sempre possuem como interseção uma reta.
  7. Três planos, tal que, dois a dois nunca são paralelos, sempre possuirão interseção não vazia.
  8. Para se calcular o ângulo entre uma reta \,r\ e um plano \,\alpha\ , de modo que \,r\ é secante a \,\alpha\ , devemos determinar o ângulo entre \,r\ e a projeção ortogonal de \,r\ sobre \,\alpha\ .
O que é pedido: identificar quais dessas afirmações são verdadeiras (segundo a geometria Euclidiana em três dimensões usual) e somar os numerais correspondentes.

Passo 2

Antes de avaliar cada afirmação, vamos fixar definições básicas e fatos que vou usar (explicados de forma didática).
  • Definição: duas retas são concorrentes quando se intersectam (têm pelo menos um ponto em comum).
  • Definição: retas coplanares são retas que pertencem a um mesmo plano. Retas reversas (skew) são retas não coplanares que não se intersectam.
  • Fato importante 1: se duas retas são distintas e se intersectam em um ponto, então existe exatamente um plano que contém as duas retas. Raciocínio simples: se as retas r_1 e r_2 se intersectam em P, tome um ponto A em r_1 diferente de P e um ponto B em r_2 diferente de P. Os três pontos P,A,B não são colineares (pois A está em uma reta e B em outra distinta), e três pontos não colineares determinam um único plano. Assim há um plano que contém ambas as retas.
  • Fato importante 2: três pontos distintos não determinam necessariamente um plano se forem colineares. O teorema padrão diz: três pontos não colineares determinam um único plano. Se os três estiverem sobre a mesma reta, há infinitos planos contendo essa reta.
  • Fato importante 3: uma reta r e um ponto P fora de r determinam um plano único: escolha dois pontos distintos A,B em r e o ponto P; se P não está em r, então A,B,P não são colineares e determinam um plano único que contém r e P.
  • Fato importante 4: duas planos não paralelos em \mathbb{R}^3 intersectam ao longo de uma reta (sejam \pi_1 e \pi_2, com normais não colineares, então \pi_1\cap\pi_2 é uma reta).
  • Definição de ângulo entre reta e plano: se uma reta r é secante ao plano \alpha (ou seja, intersecta \alpha), a projeção ortogonal de r sobre \alpha é uma reta r' contida em \alpha. O ângulo entre a reta r e o plano \alpha é definido como o ângulo entre r e r' (um valor entre 0 e 90^\circ). Alternativamente, se \mathbf{n} é um vetor normal a \alpha e \mathbf{v} é um vetor diretor de r, então o ângulo \theta entre r e \alpha satisfaz \theta = 90^\circ - \varphi, onde \varphi é o ângulo entre \mathbf{v} e \mathbf{n}.
Com essas definições/fatos, vou analisar cada afirmação.

Passo 3

Análise da afirmação 1): “Duas retas concorrentes sempre serão coplanares.”
Explicação: por definição, retas concorrentes se intersectam num ponto P. Pegue um ponto A em uma reta e um ponto B na outra reta, distintos de P. Os pontos P,A,B não são colineares (as retas são distintas), logo determinam um plano único que contém ambas as retas. Conclusão: a afirmação 1) é verdadeira.

Passo 4

Análise da afirmação 2): “Duas retas ortogonais podem não possuir ponto em comum.”
Primeiro, esclarecer o que se costuma entender por “retas ortogonais” na geometria Euclidiana elementar: duas retas são chamadas perpendiculares (ortogonais) se se intersectam formando um ângulo reto. Ou seja, a definição padrão exige interseção. Portanto, duas retas ortogonais devem ter ponto em comum. Há uma possível fonte de confusão: em álgebra vetorial pode-se ter dois vetores diretores ortogonais e retas com esses vetores que não se intersectam (retas reversas com diretores perpendiculares), mas nesse caso geralmente não se diz que as retas são “ortogonais” no sentido clássico geométrico sem mais qualificação. Como o enunciado usa a linguagem usual de geometria, a afirmação está errada: duas retas ortogonais, no sentido usual, precisam se intersectar. Conclusão: a afirmação 2) é falsa.

Passo 5

Análise da afirmação 4): “Três pontos distintos sempre determinam um plano.”
Explicação: como dito no Passo 2, três pontos não colineares determinam um único plano. Porém, se os três pontos forem colineares (estiverem todos sobre a mesma reta), então eles não determinam um plano único — na verdade há infinitos planos que contêm essa reta. O enunciado diz “três pontos distintos sempre determinam um plano”, o que é falso porque falta a hipótese “não colineares”. Portanto a afirmação 4) é falsa.

Passo 6

Análise da afirmação 8): “Uma reta e um ponto externo a essa reta, sempre determinam um plano.”
Explicação: já enunciado no Passo 2: escolha dois pontos distintos na reta e o ponto externo; esses três pontos não são colineares e determinam um plano único. Portanto a afirmação 8) é verdadeira.

Passo 7

Análise da afirmação 16): “Duas retas concorrentes sempre determinam um plano.”
Observação: esta afirmação é equivalentemente a 1) (mesma ideia com outras palavras). Pelo mesmo raciocínio do Passo 3, duas retas distintas que se intersectam determinam um plano único. Portanto a afirmação 16) é verdadeira.

Passo 8

Análise da afirmação 32): “Dois planos não paralelos sempre possuem como interseção uma reta.”
Explicação: em \mathbb{R}^3, se dois planos não são paralelos então eles se cruzam; a interseção de dois planos é uma reta (ou todo o plano se forem coincidentes, mas aqui diz “não paralelos” presumindo planos distintos). Portanto a afirmação 32) é verdadeira.

Passo 9

Análise da afirmação 64): “Três planos, tal que, dois a dois nunca são paralelos, sempre possuirão interseção não vazia.”
Contraexemplo (construção explícita): considere os planos
\pi_1: x=0,\qquad \pi_2: y=0,\qquad \pi_3: x+y=1.
Cada par desses planos não é paralelo (por exemplo \pi_1 e \pi_2 se interceptam na reta x=0,y=0; \pi_1 e \pi_3 se interceptam; etc.). No entanto a interseção comum \pi_1\cap\pi_2\cap\pi_3 é vazia, porque \pi_1\cap\pi_2=\{(0,0,z)\mid z\in\mathbb{R}\} e nenhum desses pontos satisfaz x+y=1. Portanto existe configuração em que três planos, pairwise não paralelos, não têm um ponto comum. Assim a afirmação 64) é falsa.

Passo 10

Análise da afirmação 128): “Para se calcular o ângulo entre uma reta \,r\ e um plano \,\alpha\ , de modo que \,r\ é secante a \,\alpha\ , devemos determinar o ângulo entre \,r\ e a projeção ortogonal de \,r\ sobre \,\alpha\ .”
Explicação: esta é a definição prática usada em geometria: se r corta o plano \alpha em P, projeta-se r ortogonalmente sobre \alpha para obter uma reta r' contida em \alpha; o ângulo entre r e \alpha é definido como o ângulo entre r e r'. Alternativamente, se \mathbf{v} é vetor diretor de r e \mathbf{n} é vetor normal a \alpha, então \theta = 90^\circ - \varphi onde \varphi é o ângulo entre \mathbf{v} e \mathbf{n}. Ambas as descrições são equivalentes. Portanto a afirmação 128) é verdadeira.

Passo 11

Resumo das verificações (lista das afirmações verdadeiras): 1),\;8),\;16),\;32),\;128).
A soma dos numerais correspondentes é
1 + 8 + 16 + 32 + 128.

Resposta

185

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