\mathbf{1}^{\text {a }} QUESTÃO: ( VALOR =\mathbf{0 , 8})
A seguir foram feitas oito afirmações, onde cada uma delas foi representada por um numeral distinto:
  1. Com três palitos, medindo 6 \mathrm{~cm}, 10 \mathrm{~cm} e 4 cm , é possível se construir um triângulo.
  2. Uma reta secante a um plano pode possuir mais que um ponto em comum com esse plano.
  3. Duas retas ortogonais sempre serão perpendiculares.
  4. Com três palitos, medindo 7 \mathrm{~cm}, 8 \mathrm{~cm} e 6 cm , é possível se construir um triângulo obtusângulo.
  5. Duas retas perpendiculares nunca serão reversas.
  6. Com três palitos, medindo 5 \mathrm{~cm}, 4 \mathrm{~cm} e 3 cm , é possível se construir um triângulo acutângulo.
  7. Duas retas perpendiculares sempre serão concorrentes.
  8. Duas retas que não possuem ponto em comum, ou são paralelas ou são reversas.
Determine a soma entre os numerais das afirmações que estão corretas.

Passo 1

O enunciado dá oito afirmações numeradas e pede: determinar a soma entre os numerais das afirmações que estão corretas. As afirmações são:
  1. Com três palitos, medindo 6\\ \text{cm},\\\ 10\\ \text{cm} e 4\\ \text{cm}, é possível se construir um triângulo.
  2. Uma reta secante a um plano pode possuir mais que um ponto em comum com esse plano.
  3. Duas retas ortogonais sempre serão perpendiculares.
  4. Com três palitos, medindo 7\\ \text{cm},\\\ 8\\ \text{cm} e 6\\ \text{cm}, é possível se construir um triângulo obtusângulo.
  5. Duas retas perpendiculares nunca serão reversas.
  6. Com três palitos, medindo 5\\ \text{cm},\\\ 4\\ \text{cm} e 3\\ \text{cm}, é possível se construir um triângulo acutângulo.
  7. Duas retas perpendiculares sempre serão concorrentes.
  8. Duas retas que não possuem ponto em comum, ou são paralelas ou são reversas.
Tarefa: verificar a veracidade de cada afirmação e somar os numerais das que forem verdadeiras.

Passo 2

Primeiro vou explicar as ferramentas que vou usar para as afirmações sobre palitos (triângulos). Regra de existência de triângulo (desigualdade triangular): dadas três medidas positivas a,b,c (com c a maior), é possível formar um triângulo se, e somente se,
a+b>c.
Se a+b=c obtém-se uma “degeneração” (segmentos alinhados), não é triângulo; se a+b<c é impossível. Para classificar o triângulo quanto aos ângulos (acutângulo, retângulo, obtusângulo) uso a versão do teorema de Pitágoras para os lados: com a\le b\le c,
  • se c^2=a^2+b^2 então o triângulo é retângulo;
  • se c^2<a^2+b^2 então é acutângulo;
  • se c^2>a^2+b^2 então é obtusângulo.
Vou aplicar essas regras aos conjuntos de comprimentos dados.

Passo 3

Avaliação da afirmação 1: lados 6,\\\ 10,\\\ 4. Ordenando: 4\le6\le10. Teste da existência:
4+6=10.
Como 4+6=10, temos caso degenerado (segmentos formam uma linha reta), logo NÃO é um triângulo propriamente dito. Conclusão: a afirmação 1 é falsa.

Passo 4

Avaliação da afirmação 2: lados 7,\\\ 8,\\\ 6. Ordenando: 6\le7\le8. Primeiro a existência:
6+7=13>8,
logo um triângulo existe. Agora classificar por ângulos com c=8:
c^2=8^2=64,\qquad a^2+b^2=6^2+7^2=36+49=85.
Como 64<85, vale c^2<a^2+b^2, portanto o triângulo é acutângulo (todos os ângulos agudos), NÃO obtusângulo. Conclusão: a afirmação 2 é falsa.

Passo 5

Avaliação da afirmação 4: lados 5,\\\ 4,\\\ 3. Ordenando: 3\le4\le5. Verificação de existência:
3+4=7>5,
logo existe triângulo. Classificação:
c^2=5^2=25,\qquad a^2+b^2=3^2+4^2=9+16=25.
Aqui c^2=a^2+b^2, portanto o triângulo é retângulo (o clássico triângulo 3,4,5), não acutângulo. Conclusão: a afirmação 4 é falsa.

Passo 6

Resumo parcial dos itens sobre palitos: as afirmações 1, 2 e 4 são todas falsas.

Passo 7

Agora explico conceitos de interseção entre reta e plano para avaliar a afirmação 128. Em geometria euclidiana no espaço tridimensional, uma reta e um plano podem estar em três posições:
  • não se intersectam (reta paralela ao plano);
  • intersectam-se em exatamente um ponto (a reta corta o plano: secante, no sentido usual);
  • a reta está contida no plano e então têm infinitos pontos em comum (toda a reta é subconjunto do plano).
A expressão “reta secante a um plano” costuma significar que a reta corta o plano em um único ponto. Portanto uma reta secante NÃO pode ter mais de um ponto em comum com o plano (se tivesse mais de um ponto em comum estaria contida no plano, e nesse caso costuma-se dizer que a reta pertence ao plano, não que é secante). Conclusão: a afirmação 128 é falsa.

Passo 8

Avaliação da afirmação 16: “Duas retas ortogonais sempre serão perpendiculares.” Preciso explicar termos: em espaço tridimensional costuma-se distinguir duas definições possíveis:
  • “Ortogonal” pode ser usado para dizer que os vetores diretores das retas são ortogonais (produto escalar zero); isso não exige interseção entre as retas — duas retas podem ter direções perpendiculares e ainda assim não se cruzarem (são reversas/ skew).
  • “Perpendiculares” normalmente implica que as retas se intersectam formando ângulo reto (logo são coplanares e têm um ponto em comum).
Portanto, se apenas se sabe que as direções são ortogonais, as retas podem ser reversas (não se encontrar). Exemplo concreto: reta r_1 pelo ponto (0,0,0) com direção (1,0,0) (eixo x) e reta r_2 que passa por (0,1,1) com direção (0,0,1) têm vetores diretores ortogonais, mas não se intersectam; são reversas e não “perpendiculares” no sentido de se cruzarem num ângulo reto. Logo a afirmação 16 (que afirma que toda vez que são ortogonais então serão perpendiculares) é falsa.

Passo 9

Avaliação da afirmação 32: “Duas retas perpendiculares nunca serão reversas.” Por definição, “retas perpendiculares” significa que se cruzam formando ângulo de 90^\circ; duas retas que se cruzam são coplanares (duas retas concorrentes determinam um plano). Retas reversas (skew) são, por definição, não coplanares e não se cruzam. Portanto retas perpendiculares não podem ser reversas. Conclusão: a afirmação 32 é verdadeira.

Passo 10

Avaliação da afirmação 64: “Duas retas perpendiculares sempre serão concorrentes.” Termos: “concorrentes” significa que se intersectam (têm um ponto em comum). Se duas retas são perpendiculares, por definição intersectam-se formando 90^\circ; portanto elas têm um ponto em comum, isto é, são concorrentes. Conclusão: a afirmação 64 é verdadeira.

Passo 11

Avaliação da afirmação 8: “Duas retas que não possuem ponto em comum, ou são paralelas ou são reversas.” Em espaço tridimensional, se duas retas não têm ponto em comum há duas possibilidades: elas são coplanares e então são paralelas; ou não são coplanares e então são reversas (skew). Portanto a afirmação 8 é verdadeira.

Passo 12

Agora listo quais afirmações ficaram verdadeiras: são os numerais 32,\\\ 64,\\\ 8.
Calculo da soma pedida:
32+64+8=104.

Resposta

104

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