QUESTÃO:
VALOR
A seguir foram feitas oito afirmações, onde cada uma delas foi representada por um numeral distinto:
- Com três palitos, medindo
e 4 cm , é possível se construir um triângulo.
- Uma reta secante a um plano pode possuir mais que um ponto em comum com esse plano.
- Duas retas ortogonais sempre serão perpendiculares.
- Com três palitos, medindo
e 6 cm , é possível se construir um triângulo obtusângulo.
- Duas retas perpendiculares nunca serão reversas.
- Com três palitos, medindo
e 3 cm , é possível se construir um triângulo acutângulo.
- Duas retas perpendiculares sempre serão concorrentes.
- Duas retas que não possuem ponto em comum, ou são paralelas ou são reversas.
Determine a soma entre os numerais das afirmações que estão corretas.
A seguir foram feitas oito afirmações, onde cada uma delas foi representada por um numeral distinto:
Passo 1
O enunciado dá oito afirmações numeradas e pede: determinar a soma entre os numerais das afirmações que estão corretas. As afirmações são:
- Com três palitos, medindo
e , é possível se construir um triângulo. - Uma reta secante a um plano pode possuir mais que um ponto em comum com esse plano.
- Duas retas ortogonais sempre serão perpendiculares.
- Com três palitos, medindo
e , é possível se construir um triângulo obtusângulo. - Duas retas perpendiculares nunca serão reversas.
- Com três palitos, medindo
e , é possível se construir um triângulo acutângulo. - Duas retas perpendiculares sempre serão concorrentes.
- Duas retas que não possuem ponto em comum, ou são paralelas ou são reversas.
Tarefa: verificar a veracidade de cada afirmação e somar os numerais das que forem verdadeiras.
Passo 2
Primeiro vou explicar as ferramentas que vou usar para as afirmações sobre palitos (triângulos). Regra de existência de triângulo (desigualdade triangular): dadas três medidas positivas
(com
a maior), é possível formar um triângulo se, e somente se,
Se
obtém-se uma “degeneração” (segmentos alinhados), não é triângulo; se
é impossível. Para classificar o triângulo quanto aos ângulos (acutângulo, retângulo, obtusângulo) uso a versão do teorema de Pitágoras para os lados: com
,
- se
então o triângulo é retângulo; - se
então é acutângulo; - se
então é obtusângulo.
Vou aplicar essas regras aos conjuntos de comprimentos dados.
Passo 3
Avaliação da afirmação
: lados
. Ordenando:
. Teste da existência:
Como
, temos caso degenerado (segmentos formam uma linha reta), logo NÃO é um triângulo propriamente dito. Conclusão: a afirmação
é falsa.
Passo 4
Avaliação da afirmação
: lados
. Ordenando:
. Primeiro a existência:
logo um triângulo existe. Agora classificar por ângulos com
:
Como
, vale
, portanto o triângulo é acutângulo (todos os ângulos agudos), NÃO obtusângulo. Conclusão: a afirmação
é falsa.
Passo 5
Avaliação da afirmação
: lados
. Ordenando:
. Verificação de existência:
logo existe triângulo. Classificação:
Aqui
, portanto o triângulo é retângulo (o clássico triângulo
), não acutângulo. Conclusão: a afirmação
é falsa.
Passo 6
Resumo parcial dos itens sobre palitos: as afirmações
,
e
são todas falsas.
Passo 7
Agora explico conceitos de interseção entre reta e plano para avaliar a afirmação
. Em geometria euclidiana no espaço tridimensional, uma reta e um plano podem estar em três posições:
- não se intersectam (reta paralela ao plano);
- intersectam-se em exatamente um ponto (a reta corta o plano: secante, no sentido usual);
- a reta está contida no plano e então têm infinitos pontos em comum (toda a reta é subconjunto do plano).
A expressão “reta secante a um plano” costuma significar que a reta corta o plano em um único ponto. Portanto uma reta secante NÃO pode ter mais de um ponto em comum com o plano (se tivesse mais de um ponto em comum estaria contida no plano, e nesse caso costuma-se dizer que a reta pertence ao plano, não que é secante). Conclusão: a afirmação
é falsa.
Passo 8
Avaliação da afirmação
: “Duas retas ortogonais sempre serão perpendiculares.” Preciso explicar termos: em espaço tridimensional costuma-se distinguir duas definições possíveis:
- “Ortogonal” pode ser usado para dizer que os vetores diretores das retas são ortogonais (produto escalar zero); isso não exige interseção entre as retas — duas retas podem ter direções perpendiculares e ainda assim não se cruzarem (são reversas/ skew).
- “Perpendiculares” normalmente implica que as retas se intersectam formando ângulo reto (logo são coplanares e têm um ponto em comum).
Portanto, se apenas se sabe que as direções são ortogonais, as retas podem ser reversas (não se encontrar). Exemplo concreto: reta
pelo ponto
com direção
(eixo
) e reta
que passa por
com direção
têm vetores diretores ortogonais, mas não se intersectam; são reversas e não “perpendiculares” no sentido de se cruzarem num ângulo reto. Logo a afirmação
(que afirma que toda vez que são ortogonais então serão perpendiculares) é falsa.
Passo 9
Avaliação da afirmação
: “Duas retas perpendiculares nunca serão reversas.” Por definição, “retas perpendiculares” significa que se cruzam formando ângulo de
; duas retas que se cruzam são coplanares (duas retas concorrentes determinam um plano). Retas reversas (skew) são, por definição, não coplanares e não se cruzam. Portanto retas perpendiculares não podem ser reversas. Conclusão: a afirmação
é verdadeira.
Passo 10
Avaliação da afirmação
: “Duas retas perpendiculares sempre serão concorrentes.” Termos: “concorrentes” significa que se intersectam (têm um ponto em comum). Se duas retas são perpendiculares, por definição intersectam-se formando
; portanto elas têm um ponto em comum, isto é, são concorrentes. Conclusão: a afirmação
é verdadeira.
Passo 11
Avaliação da afirmação
: “Duas retas que não possuem ponto em comum, ou são paralelas ou são reversas.” Em espaço tridimensional, se duas retas não têm ponto em comum há duas possibilidades: elas são coplanares e então são paralelas; ou não são coplanares e então são reversas (skew). Portanto a afirmação
é verdadeira.
Passo 12
Agora listo quais afirmações ficaram verdadeiras: são os numerais
.
Calculo da soma pedida: