QUESTÃO: ( VALOR
)
Sejam dados:
Calcule:
\log _{\frac{1}{a^{2}}}\left(\frac{\sqrt{c}}{a}\right)
Sejam dados:
\log _{\frac{1}{a^{2}}}\left(\frac{\sqrt{c}}{a}\right)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
e pede para calcular
Dados importantes: as quantidades dentro de log são positivas e
(essa condição é implícita porque os logaritmos estão bem definidos). Não começamos a resolver aqui; apenas listei o que foi dado e o que é pedido.
Passo 2
Vamos usar duas propriedades básicas dos logaritmos que vou explicar e justificar agora (isso é a parte teórica que você precisa dominar para resolver esse tipo de exercício).
Propriedade 1 — mudança de base (fórmula do “change of base”):
Seja ,
e
. Definindo
temos
. Aplicando
em ambos os lados obtemos
Seja
logo
Isto significa que posso passar qualquer logaritmo para a base
dividindo o logaritmo do argumento pelo logaritmo da base, ambos na mesma base
.
Propriedade 2 — regras de potências e produto/quociente:
- Para
e número real : . (Porque .) - Para
: e .
Com essas propriedades, a ideia é passar o logaritmo
para a base
e calcular usando os valores fornecidos.
Passo 3
Aplique a mudança de base para escrever o logaritmo pedido em base
:
Aqui usei diretamente a fórmula
, com
e
.
Passo 4
Calcule o numerador
. Primeiro reescrevo
usando potências:
Aplicando a propriedade do logaritmo do produto/quociente e da potência:
Agora uso
e
(porque
), então
Passo 5
Substitua o valor dado
(peguei este dado do enunciado) na expressão do numerador:
Portanto o numerador vale
.
Passo 6
Calcule o denominador
. Reescrevendo
e usando
, obtemos
Passo 7
Agora divida o numerador pelo denominador conforme a mudança de base:
Se preferir ver como fração:
e
, então
.