7^{\mathrm{a}} QUESTÃO: ( VALOR \mathbf{=1,2} )
Sejam dados:
\log _{a} b=3 \quad \log _{a} c=0,2 \quad \log _{a} d=-1,2
Calcule:
\log _{\frac{1}{a^{2}}}\left(\frac{\sqrt{c}}{a}\right)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
\log_{a} b = 3,\qquad \log_{a} c = 0,2,\qquad \log_{a} d = -1,2
e pede para calcular
\log_{\frac{1}{a^{2}}}\!\left(\frac{\sqrt{c}}{a}\right).
Dados importantes: as quantidades dentro de log são positivas e a\neq 1 (essa condição é implícita porque os logaritmos estão bem definidos). Não começamos a resolver aqui; apenas listei o que foi dado e o que é pedido.

Passo 2

Vamos usar duas propriedades básicas dos logaritmos que vou explicar e justificar agora (isso é a parte teórica que você precisa dominar para resolver esse tipo de exercício).
Propriedade 1 — mudança de base (fórmula do “change of base”):
Seja p>0, p\neq 1 e q>0. Definindo t=\log_{p} q temos p^{t}=q. Aplicando \log_{a} em ambos os lados obtemos
t\,\log_{a} p = \log_{a} q,
logo
\log_{p} q = \frac{\log_{a} q}{\log_{a} p}.
Isto significa que posso passar qualquer logaritmo para a base a dividindo o logaritmo do argumento pelo logaritmo da base, ambos na mesma base a.
Propriedade 2 — regras de potências e produto/quociente:
  • Para x>0 e número real k: \log_{a}(x^{k}) = k\log_{a} x. (Porque x^{k}=a^{\log_{a} x\cdot k}.)
  • Para x,y>0: \log_{a}(xy)=\log_{a} x+\log_{a} y e \log_{a}\!\left(\frac{x}{y}\right)=\log_{a} x-\log_{a} y.
Com essas propriedades, a ideia é passar o logaritmo \log_{\frac{1}{a^{2}}}(\cdot) para a base a e calcular usando os valores fornecidos.

Passo 3

Aplique a mudança de base para escrever o logaritmo pedido em base a:
\log_{\frac{1}{a^{2}}}\!\left(\frac{\sqrt{c}}{a}\right) = \frac{\log_{a}\!\left(\dfrac{\sqrt{c}}{a}\right)}{\log_{a}\!\left(\dfrac{1}{a^{2}}\right)}.
Aqui usei diretamente a fórmula \log_{p} q = \dfrac{\log_{a} q}{\log_{a} p}, com p=\dfrac{1}{a^{2}} e q=\dfrac{\sqrt{c}}{a}.

Passo 4

Calcule o numerador \log_{a}\!\left(\dfrac{\sqrt{c}}{a}\right). Primeiro reescrevo \dfrac{\sqrt{c}}{a} usando potências:
\frac{\sqrt{c}}{a} = c^{1/2}\,a^{-1}.
Aplicando a propriedade do logaritmo do produto/quociente e da potência:
\log_{a}\!\left(\frac{\sqrt{c}}{a}\right) = \log_{a}\big(c^{1/2}\big) + \log_{a}\big(a^{-1}\big).
Agora uso \log_{a}(c^{1/2}) = \tfrac{1}{2}\log_{a} c e \log_{a}(a^{-1}) = -1 (porque \log_{a} a = 1), então
\log_{a}\!\left(\frac{\sqrt{c}}{a}\right) = \frac{1}{2}\log_{a} c - 1.

Passo 5

Substitua o valor dado \log_{a} c = 0,2 (peguei este dado do enunciado) na expressão do numerador:
\frac{1}{2}\log_{a} c - 1 = \frac{1}{2}\cdot 0,2 - 1 = 0,1 - 1 = -0,9.
Portanto o numerador vale -0,9.

Passo 6

Calcule o denominador \log_{a}\!\left(\dfrac{1}{a^{2}}\right). Reescrevendo \dfrac{1}{a^{2}}=a^{-2} e usando \log_{a}(a^{-2})=-2\log_{a} a = -2\cdot 1 = -2, obtemos
\log_{a}\!\left(\frac{1}{a^{2}}\right) = -2.

Passo 7

Agora divida o numerador pelo denominador conforme a mudança de base:
\log_{\frac{1}{a^{2}}}\!\left(\frac{\sqrt{c}}{a}\right) = \frac{-0,9}{-2} = 0,45.
Se preferir ver como fração: -0,9 = -\tfrac{9}{10} e -2 = -\tfrac{20}{10}, então \dfrac{-9/10}{-20/10}=\dfrac{9}{20}=0,45.

Resposta

0,45

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