\mathrm{x}=3 \cos \mathrm{t}, \mathrm{y}=4 \sin \mathrm{t}. a) Obter \mathrm{r}(\mathrm{t}) e a trajectória. b) Calcular \mathrm{v}(\mathrm{t}) e \mathrm{a}(\mathrm{t}). c) Determinar a aceleração normal e o raio de curvatura em t=\pi / 4.

Passo 1

O enunciado dá as coordenadas paramétricas da curva:
x=3\cos t,\qquad y=4\sin t.
As perguntas são:
  1. (a) Obter \mathrm{r}(t) (o vetor posição) e descrever a trajetória (que curva é, equação cartesiana, orientação).
  2. (b) Calcular \mathrm{v}(t) (velocidade vetorial) e \mathrm{a}(t) (aceleração vetorial).
  3. (c) Em t=\pi/4: determinar a aceleração normal (isto é, a componente normal da aceleração, magnitude e, se útil, vetor) e o raio de curvatura \rho.
Informações relevantes dadas: as funções x(t) e y(t) para todo t. Não há outras condições. A resolução começa a seguir.

Passo 2

Construir o vetor posição \mathrm{r}(t) e identificar a trajetória.
  • O vetor posição em coordenadas cartesianas é formado juntando as componentes x e y. Portanto:
\mathrm{r}(t)=\begin{pmatrix}x(t)\\[4pt]y(t)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\cos t\\[4pt]4\sin t\end{pmatrix}.
  • Para obter a equação cartesiana da curva (eliminar t), use que \cos^2 t+\sin^2 t=1. Divida x por 3 e y por 4 e eleve ao quadrado:
\left(\frac{x}{3}\right)^2+\left(\frac{y}{4}\right)^2=\cos^2 t+\sin^2 t=1.
Logo a trajetória é a elipse
\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}=1,
com semi-eixo horizontal 3 e semi-eixo vertical 4.
  • Orientação (sentido do movimento): em t=0 temos \mathrm{r}(0)=(3,0). A velocidade inicial (veremos no passo seguinte) tem componente y' positiva, portanto o ponto sai de (3,0) subindo no sentido anti-horário. Conclusão: a orientação é anti-horária (sentido anti-horário).]

Passo 3

Calcular a velocidade vetorial \mathrm{v}(t)=\mathrm{r}'(t) e a aceleração \mathrm{a}(t)=\mathrm{r}''(t), explicando as regras usadas.
  • Regra: derivada de um vetor é a derivada componente a componente. Derivada de \cos t é -\sin t e de \sin t é \cos t.
Dessa forma:
\mathrm{v}(t)=\mathrm{r}'(t)=\begin{pmatrix}-3\sin t\\[4pt]4\cos t\end{pmatrix}.
  • A velocidade escalar (módulo da velocidade), que chamaremos de |\mathrm{v}(t)| ou simplesmente v(t), é
v(t)=\sqrt{(-3\sin t)^2+(4\cos t)^2}=\sqrt{9\sin^2 t+16\cos^2 t}.
Expliquei: somamos os quadrados das componentes e extraímos a raiz, porque |(a,b)|=\sqrt{a^2+b^2}.
  • Derivando novamente componente a componente para obter a aceleração:
\mathrm{a}(t)=\mathrm{r}''(t)=\begin{pmatrix}-3\cos t\\[4pt]-4\sin t\end{pmatrix}.
Aqui usei que a derivada de -3\sin t é -3\cos t e da 4\cos t é -4\sin t.]

Passo 4

Avaliar \mathrm{v}(t), v(t) e \mathrm{a}(t) em t=\pi/4 (cálculos passo a passo).
  • Primeiro calcule \sin(\pi/4)=\cos(\pi/4)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
  • Velocidade vetorial:
\mathrm{v}\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\begin{pmatrix}-3\sin\frac{\pi}{4}\\[4pt]4\cos\frac{\pi}{4}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-3\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\\[4pt]4\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\\[6pt]\dfrac{4\sqrt{2}}{2}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\\[4pt]2\sqrt{2}\end{pmatrix}.
  • Módulo da velocidade:
v\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{9\sin^2\frac{\pi}{4}+16\cos^2\frac{\pi}{4}} =\sqrt{9\cdot\frac12+16\cdot\frac12} =\sqrt{\frac{9+16}{2}} =\sqrt{\frac{25}{2}} =\frac{5}{\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}.
  • Aceleração vetorial:
\mathrm{a}\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\begin{pmatrix}-3\cos\frac{\pi}{4}\\[4pt]-4\sin\frac{\pi}{4}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\\[4pt]-2\sqrt{2}\end{pmatrix}.]

Passo 5

Calcular a curvatura \kappa(t) e o raio de curvatura \rho(t); aplicar em t=\pi/4. Explico a fórmula usada.
  • Para uma curva paramétrica (x(t),y(t)) a curvatura \kappa tem a forma (fórmula padrão que vem da magnitude do produto vetorial entre \mathrm{r}' e \mathrm{r}'' em 2D):
\kappa(t)=\frac{|x'(t)\,y''(t)-y'(t)\,x''(t)|}{\bigl(x'(t)^2+y'(t)^2\bigr)^{3/2}}.
Aqui x',y' são as derivadas primeiras e x'',y'' as segundas; o numerador é a magnitude do determinante que corresponde ao módulo do produto vetorial em 3D (com terceira componente zero).
  • No nosso caso:
x'(t)=-3\sin t,\quad y'(t)=4\cos t,\quad x''(t)=-3\cos t,\quad y''(t)=-4\sin t.
Calcule o numerador:
x'y''-y'x''=(-3\sin t)(-4\sin t)-(4\cos t)(-3\cos t)=12\sin^2 t+12\cos^2 t=12.
É uma constante! (porque combina \sin^2+\cos^2).
  • O denominador é \bigl(9\sin^2 t+16\cos^2 t\bigr)^{3/2}. Assim:
\kappa(t)=\frac{12}{\bigl(9\sin^2 t+16\cos^2 t\bigr)^{3/2}}.
  • Em t=\pi/4 temos 9\sin^2+\!16\cos^2 = \dfrac{9+16}{2}=\dfrac{25}{2}. Então
\kappa\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{12}{\left(\dfrac{25}{2}\right)^{3/2}}.
Calcule \left(\dfrac{25}{2}\right)^{3/2}=\left(\dfrac{5}{\sqrt{2}}\right)^3=\dfrac{125}{2\sqrt{2}}=\dfrac{125}{2\sqrt{2}}. Portanto
\kappa\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=12\cdot\frac{2\sqrt{2}}{125}=\frac{24\sqrt{2}}{125}.
  • O raio de curvatura \rho é o inverso da curvatura:
\rho\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\kappa(\pi/4)}=\frac{125}{24\sqrt{2}}=\frac{125\sqrt{2}}{48}.
Ambas as formas são equivalentes; escolhi a forma racionalizada \dfrac{125\sqrt{2}}{48} como alternativa.

Passo 6

Determinar a aceleração normal em t=\pi/4 (magnitude e vetor). Explico as relações usadas.
  • Relação entre velocidade, curvatura e aceleração normal (magnitude):
a_n(t)=v(t)^2\,\kappa(t)=\frac{v(t)^2}{\rho(t)}.
Isto vem da decomposição da aceleração nas componentes tangencial a_t e normal a_n: \mathrm{a}=a_t\mathbf{T}+a_n\mathbf{N}, com a_n=v^2/\rho.
  • Usando v(\pi/4)=\dfrac{5\sqrt{2}}{2} e \kappa(\pi/4)=\dfrac{24\sqrt{2}}{125}:
a_n\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\left(\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)^2\cdot\frac{24\sqrt{2}}{125} =\frac{25\cdot 2}{4}\cdot\frac{24\sqrt{2}}{125} =\frac{25}{2}\cdot\frac{24\sqrt{2}}{125}.
Simplificando \dfrac{25}{125}=\dfrac{1}{5}:
a_n\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{5}\cdot\frac{24\sqrt{2}}{2}=\frac{24\sqrt{2}}{10}=\frac{12\sqrt{2}}{5}.
  • Podemos também dar o vetor da componente normal. Primeiro encontramos o versor tangente unitário \mathbf{T}=\dfrac{\mathrm{v}}{|\mathrm{v}|} em t=\pi/4:
\mathbf{T}\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{v(\pi/4)}\begin{pmatrix}-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\\[4pt]2\sqrt{2}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-\dfrac{3}{5}\\[4pt]\dfrac{4}{5}\end{pmatrix}.
  • A componente tangencial escalar é a_t=(\mathrm{r}'\cdot\mathrm{r}'')/|\mathrm{r}'|. Calculando rápido (já mostrado nos passos intermédios) obtemos
a_t\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{7\sqrt{2}}{10}.
  • A componente normal vetorial é \mathrm{a}_n=a_n\mathbf{N} com \mathbf{N} versor normal. Podemos obter \mathbf{N} por \mathbf{N}=(\mathrm{a}-a_t\mathbf{T})/|\,\mathrm{a}-a_t\mathbf{T}\,|. Fazendo as contas (detalhadas nos passos intermédios) obtém-se
\mathbf{N}\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\begin{pmatrix}-\dfrac{4}{5}\\[4pt]-\dfrac{3}{5}\end{pmatrix}, \qquad \mathrm{a}_n\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{12\sqrt{2}}{5}\begin{pmatrix}-\dfrac{4}{5}\\[4pt]-\dfrac{3}{5}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-\dfrac{48\sqrt{2}}{25}\\[6pt]-\dfrac{36\sqrt{2}}{25}\end{pmatrix}.
(Isto confirma que a magnitude do vetor acima é \dfrac{12\sqrt{2}}{5}, como calculado.)]

Resposta

\displaystyle \mathrm{r}(t)=\begin{pmatrix}3\cos t\\[4pt]4\sin t\end{pmatrix}; trajetória: \displaystyle \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}=1 (elipse com semi-eixos 3 e 4), orientação anti-horária.
\displaystyle \mathrm{v}(t)=\begin{pmatrix}-3\sin t\\[4pt]4\cos t\end{pmatrix},\qquad \mathrm{a}(t)=\begin{pmatrix}-3\cos t\\[4pt]-4\sin t\end{pmatrix}.
\displaystyle a_n\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{12\sqrt{2}}{5}.
\displaystyle \rho\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{125}{24\sqrt{2}}=\frac{125\sqrt{2}}{48}.]

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