\mathrm{x}=3 \cos \mathrm{t}, \mathrm{y}=4 \sin \mathrm{t}. a) Obter \mathrm{r}(\mathrm{t}) e a trajectória. b) Calcular \mathrm{v}(\mathrm{t}) e \mathrm{a}(\mathrm{t}). c) Determinar a aceleração normal e o raio de curvatura em t=\pi / 4.
Passo 1
O enunciado dá as coordenadas paramétricas da curva:
x=3\cos t,\qquad y=4\sin t.
As perguntas são:
(a) Obter \mathrm{r}(t) (o vetor posição) e descrever a trajetória (que curva é, equação cartesiana, orientação).
(b) Calcular \mathrm{v}(t) (velocidade vetorial) e \mathrm{a}(t) (aceleração vetorial).
(c) Em t=\pi/4: determinar a aceleração normal (isto é, a componente normal da aceleração, magnitude e, se útil, vetor) e o raio de curvatura \rho.
Informações relevantes dadas: as funções x(t) e y(t) para todo t. Não há outras condições. A resolução começa a seguir.
Passo 2
Construir o vetor posição \mathrm{r}(t) e identificar a trajetória.
O vetor posição em coordenadas cartesianas é formado juntando as componentes x e y. Portanto:
com semi-eixo horizontal 3 e semi-eixo vertical 4.
Orientação (sentido do movimento): em t=0 temos \mathrm{r}(0)=(3,0). A velocidade inicial (veremos no passo seguinte) tem componente y' positiva, portanto o ponto sai de (3,0) subindo no sentido anti-horário. Conclusão: a orientação é anti-horária (sentido anti-horário).]
Passo 3
Calcular a velocidade vetorial \mathrm{v}(t)=\mathrm{r}'(t) e a aceleração \mathrm{a}(t)=\mathrm{r}''(t), explicando as regras usadas.
Regra: derivada de um vetor é a derivada componente a componente. Derivada de \cos t é -\sin t e de \sin t é \cos t.
Calcular a curvatura \kappa(t) e o raio de curvatura \rho(t); aplicar em t=\pi/4. Explico a fórmula usada.
Para uma curva paramétrica (x(t),y(t)) a curvatura \kappa tem a forma (fórmula padrão que vem da magnitude do produto vetorial entre \mathrm{r}' e \mathrm{r}'' em 2D):
Aqui x',y' são as derivadas primeiras e x'',y'' as segundas; o numerador é a magnitude do determinante que corresponde ao módulo do produto vetorial em 3D (com terceira componente zero).
No nosso caso:
x'(t)=-3\sin t,\quad y'(t)=4\cos t,\quad x''(t)=-3\cos t,\quad y''(t)=-4\sin t.
Podemos também dar o vetor da componente normal. Primeiro encontramos o versor tangente unitário \mathbf{T}=\dfrac{\mathrm{v}}{|\mathrm{v}|} em t=\pi/4:
A componente normal vetorial é \mathrm{a}_n=a_n\mathbf{N} com \mathbf{N} versor normal. Podemos obter \mathbf{N} por \mathbf{N}=(\mathrm{a}-a_t\mathbf{T})/|\,\mathrm{a}-a_t\mathbf{T}\,|. Fazendo as contas (detalhadas nos passos intermédios) obtém-se