Dois carros de corrida estão lateralmente e inicialmente a velocidade de 120 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. Quando estão a 1 km da meta, o primeiro avista a meta e o primeiro inicia uma aceleração de aceleração de 1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, constante. O segundo só percebe este facto 10 s depois. Qual deverá ser a aceleração desenvolvida pelo segundo para que atinjam a meta empatados?

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a aceleração que o segundo carro deve desenvolver para que ambos atinjam a meta empatados. As informações dadas são:
  • Velocidade inicial de ambos: 120\\ \mathrm{km/h}.
  • Distância até a meta no instante em que o primeiro começa a acelerar: 1\\ \mathrm{km}.
  • Aceleração do primeiro carro (constante): a_1 = 1\\ \mathrm{m/s^2}.
  • O segundo só percebe 10 s depois e, até esse instante, mantém a velocidade inicial.
  • Queremos a aceleração constante a_2 do segundo, de forma que os dois atinjam a meta ao mesmo tempo.

Passo 2

Vamos passar tudo para unidades SI (metre–secondo), porque as fórmulas de cinemática que iremos usar usam essas unidades.
  • Converter 120\\ \mathrm{km/h} para \mathrm{m/s}:
120\\ \mathrm{km/h} = 120\cdot\frac{1000}{3600}\\ \mathrm{m/s} = \frac{100}{3}\\ \mathrm{m/s}\approx 33{,}333\\ \mathrm{m/s}.
Logo v_0 = \dfrac{100}{3}\\ \mathrm{m/s}.
  • Distância até a meta:
s = 1\\ \mathrm{km} = 1000\\ \mathrm{m}.
  • Temos a_1 = 1\\ \mathrm{m/s^2} e atraso do segundo \Delta t = 10\\ \mathrm{s}.

Passo 3

Relembre a fórmula básica da posição para movimento com aceleração constante (física básica de cinemática). Se um móvel parte com velocidade inicial v_0 e aceleração constante a, a distância percorrida em tempo t é
s(t)=v_0 t + \tfrac{1}{2} a t^2.
Aqui s(t) é a distância percorrida em t segundos, v_0 é a velocidade inicial e a é a aceleração constante.

Passo 4

Aplique essa fórmula ao primeiro carro; ele acelera desde o instante t=0 até atingir a meta em um tempo t (tempo total até a meta). Assim:
1000 = v_0 t + \tfrac{1}{2} a_1 t^2.
Substituindo v_0=\dfrac{100}{3} e a_1=1:
1000 = \frac{100}{3} t + \tfrac{1}{2}\,t^2.
Multiplicando ambos os lados por 6 para eliminar frações:
6000 = 200 t + 3 t^2.
Colocando na forma padrão:
3 t^2 + 200 t - 6000 = 0.
É uma equação quadrática em t. Calculamos o discriminante:
\Delta = 200^2 - 4\cdot 3 \cdot (-6000) = 40000 + 72000 = 112000.
A raiz positiva (tempo físico) é
t = \frac{-200 + \sqrt{112000}}{6}.
Avaliação numérica (aproximação):
\sqrt{112000}\approx 334{,}664010542,\quad t\approx \frac{134{,}664010542}{6}\approx 22{,}4440018\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Agora descrevemos o movimento do segundo carro em dois trechos:
  1. Durante os primeiros 10\\ \mathrm{s} ele mantém velocidade constante v_0, percorrendo v_0\cdot 10.
  2. Depois disso (tempo (t-10)) ele acelera com a_2, partindo da mesma velocidade v_0; a distância percorrida nessa segunda fase é
v_0 (t-10) + \tfrac{1}{2} a_2 (t-10)^2.
A soma das duas fases deve ser a distância total 1000\\ \mathrm{m}. Portanto:
1000 = v_0\cdot 10 + v_0 (t-10) + \tfrac{1}{2} a_2 (t-10)^2.
Simplificando o lado com v_0:
1000 = v_0 t + \tfrac{1}{2} a_2 (t-10)^2.
Mas para o primeiro carro já temos
1000 = v_0 t + \tfrac{1}{2} a_1 t^2.
Comparando as duas expressões (iguais ao mesmo 1000), os termos v_0 t cancelam, sobrando
\tfrac{1}{2} a_2 (t-10)^2 = \tfrac{1}{2} a_1 t^2.
Multiplicando por 2:
a_2 (t-10)^2 = a_1 t^2.
Isolando a_2:
\boxed{a_2 = a_1 \,\frac{t^2}{(t-10)^2}.}
Esta fórmula é muito útil porque elimina várias contas intermédias: basta conhecer t (tempo do primeiro carro) e a_1.

Passo 6

Substituímos a_1=1\\ \mathrm{m/s^2} e o valor numérico de t encontrado no Passo 4:
  • t\approx 22{,}4440018\\ \mathrm{s}.
  • t-10 \approx 12{,}4440018\\ \mathrm{s}.
Logo
a_2 = 1\cdot\left(\frac{22{,}4440018}{12{,}4440018}\right)^2.
Calcule a razão e o quadrado:
\frac{22{,}4440018}{12{,}4440018}\approx 1{,}80384596,
a_2 \approx (1{,}80384596)^2 \approx 3{,}25397\\ \mathrm{m/s^2}.
Arredondando razoavelmente, a aceleração que o segundo carro deve exercer é aproximadamente 3{,}25\\ \mathrm{m/s^2}.

Resposta

a_2 \approx 3{,}25397\\ \mathrm{m/s^2}

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