A densidade de corrente
no interior de um fio cilíndrico longo de raio
é paralela ao eixo central e seu módulo varia linearmente com a distância radial, de acordo com a equação
, onde
. Determine o módulo do campo magnético para
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só:
- A densidade de corrente é paralela ao eixo e varia linearmente com a distância radial segundo
. -
. - O raio do fio é
. - Pedem o módulo do campo magnético no interior do fio para
.
Nada mais é pedido. Vou então calcular
em
usando as informações acima.
Passo 2
Qual a ideia física e a equação que vamos usar (explicando devagar)?
- Por simetria cilíndrica, o campo magnético
ao redor do eixo é tangencial (circunferencial) e tem módulo constante numa circunferência de raio . Isso permite usar a Lei de Ampère no seu formulário integral:
onde
é a permeabilidade do vácuo (
) e
é a corrente total que atravessa a superfície limitada pelo caminho fechado (neste caso, a corrente que atravessa o disco de raio
).
- Porque
tem módulo constante e é tangencial, o lado esquerdo vira . Então precisamos calcular para um raio qualquer , e então resolver para .
Passo 3
Calcular a corrente envolvida
para um raio qualquer
(detalhando a integração):
- A corrente total atravessando o disco de raio
é a integral da densidade de corrente sobre a área: . Em coordenadas cilíndricas, um anel de raio e espessura tem área . - Como
, temos
- Integramos
. Portanto
Expliquei cada termo:
é a constante dada,
é a variável de integração (raio do anel), e
é o raio do amperiano onde queremos
.
Passo 4
Aplicar a Lei de Ampère e isolar
:
- Pela Lei de Ampère:
- Cancelando
em ambos os lados e isolando ,
Aqui cada símbolo significa:
(constante),
(dado),
(posição onde medimos
),
(raio do fio).
Passo 5
Substituir
e simplificar simbolicamente antes de pôr números:
Ótimo — a expressão ficou bem simples:
em
é
.
Passo 6
Calcular numericamente passo a passo (sem pular contas):
- Valores:
, , . - Primeiro calcule o produto
:
- Avaliando numericamente:
- Agora dividir por
:
- Arredondando de forma razoável (dados têm duas ou três cifras significativas), obtemos
Passo 7
Checagem rápida de dimensões e interpretação (para você se sentir seguro):
- Unidade:
em , em , em → produto dá tesla, ok. - Comportamento físico: como
cresce com , dentro cresce como (veja fórmula ); em deu o valor acima. Força tranquila: campo é muito pequeno (10^{-7} T).