A densidade de corrente \mathbf{J} no interior de um fio cilíndrico longo de raio a=3,1 \mathrm{~mm} é paralela ao eixo central e seu módulo varia linearmente com a distância radial, de acordo com a equação J=J_{0} r / a, onde J_{o}=310 \mathrm{A} / \mathrm{m}^{2}. Determine o módulo do campo magnético para
\mathrm{r}=\mathrm{a} / 2 \mathrm{e}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só:
  • A densidade de corrente é paralela ao eixo e varia linearmente com a distância radial segundo \displaystyle J(r)=J_{0}\frac{r}{a}.
  • J_{0}=310\\ \mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}.
  • O raio do fio é a=3{,}1\\ \mathrm{mm}=3{,}1\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
  • Pedem o módulo do campo magnético no interior do fio para \displaystyle r=\frac{a}{2}.
Nada mais é pedido. Vou então calcular B em r=a/2 usando as informações acima.

Passo 2

Qual a ideia física e a equação que vamos usar (explicando devagar)?
  • Por simetria cilíndrica, o campo magnético \vec B ao redor do eixo é tangencial (circunferencial) e tem módulo constante numa circunferência de raio r. Isso permite usar a Lei de Ampère no seu formulário integral:
\oint \vec B\cdot d\vec l=\mu_{0} I_{\text{enc}},
onde \mu_{0} é a permeabilidade do vácuo ( \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A}) e I_{\text{enc}} é a corrente total que atravessa a superfície limitada pelo caminho fechado (neste caso, a corrente que atravessa o disco de raio r).
  • Porque \vec B tem módulo constante e é tangencial, o lado esquerdo vira B(2\pi r). Então precisamos calcular I_{\text{enc}} para um raio qualquer r<a, e então resolver para B.

Passo 3

Calcular a corrente envolvida I_{\text{enc}} para um raio qualquer r (detalhando a integração):
  • A corrente total atravessando o disco de raio r é a integral da densidade de corrente sobre a área: I_{\text{enc}}=\iint J(r')\,dA. Em coordenadas cilíndricas, um anel de raio r' e espessura dr' tem área dA=2\pi r'\,dr'.
  • Como J(r')=J_{0}\dfrac{r'}{a}, temos
I_{\text{enc}}=\int_{0}^{r} J_{0}\frac{r'}{a}\;2\pi r'\,dr' = \frac{2\pi J_{0}}{a}\int_{0}^{r} r'^{2}\,dr'.
  • Integramos \int_{0}^{r} r'^{2}\,dr'=\dfrac{r^{3}}{3}. Portanto
I_{\text{enc}}=\frac{2\pi J_{0}}{a}\cdot\frac{r^{3}}{3}=\frac{2\pi J_{0} r^{3}}{3a}.
Expliquei cada termo: J_{0} é a constante dada, r' é a variável de integração (raio do anel), e r é o raio do amperiano onde queremos B.

Passo 4

Aplicar a Lei de Ampère e isolar B(r):
  • Pela Lei de Ampère:
B(2\pi r)=\mu_{0} I_{\text{enc}}=\mu_{0}\frac{2\pi J_{0} r^{3}}{3a}.
  • Cancelando 2\pi em ambos os lados e isolando B,
B(r)=\frac{\mu_{0} J_{0} r^{2}}{3a}.
Aqui cada símbolo significa: \mu_{0} (constante), J_{0} (dado), r (posição onde medimos B), a (raio do fio).

Passo 5

Substituir r=\dfrac{a}{2} e simplificar simbolicamente antes de pôr números:
B\!\left(\frac{a}{2}\right)=\frac{\mu_{0} J_{0}}{3a}\left(\frac{a}{2}\right)^{2} =\frac{\mu_{0} J_{0}}{3a}\cdot\frac{a^{2}}{4} =\frac{\mu_{0} J_{0} a}{12}.
Ótimo — a expressão ficou bem simples: B em r=a/2 é \dfrac{\mu_{0} J_{0} a}{12}.

Passo 6

Calcular numericamente passo a passo (sem pular contas):
  • Valores: \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A}, J_{0}=310\\ \mathrm{A/m^{2}}, a=3{,}1\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
  • Primeiro calcule o produto \mu_{0}J_{0}a:
\mu_{0}J_{0}a=(4\pi\times10^{-7})\times 310\times(3{,}1\times10^{-3}).
  • Avaliando numericamente:
4\pi\times10^{-7}\approx 1{,}25663706\times10^{-6},
1{,}25663706\times10^{-6}\times310\approx 3{,}8955749\times10^{-4},
3{,}8955749\times10^{-4}\times3{,}1\times10^{-3}\approx 1{,}0063568\times10^{-6}.
  • Agora dividir por 12:
B\!\left(\frac{a}{2}\right)=\frac{1{,}0063568\times10^{-6}}{12}\approx 1{,}0063568\times10^{-7}\\ \mathrm{T}.
  • Arredondando de forma razoável (dados têm duas ou três cifras significativas), obtemos
B\!\left(\frac{a}{2}\right)\approx 1{,}01\times10^{-7}\\ \mathrm{T}.

Passo 7

Checagem rápida de dimensões e interpretação (para você se sentir seguro):
  • Unidade: \mu_{0} em \mathrm{T\cdot m/A}, J_{0} em \mathrm{A/m^{2}}, a em \mathrm{m} → produto dá tesla, ok.
  • Comportamento físico: como J cresce com r, B dentro cresce como r^{2} (veja fórmula B(r)=\mu_{0}J_{0}r^{2}/(3a)); em r=a/2 deu o valor acima. Força tranquila: campo é muito pequeno (10^{-7} T).

Resposta

1{,}01\times10^{-7}\\ \mathrm{T}

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