Determine se os seguintes conjuntos de vetores são linearmente dependentes ou independentes. Justifique suas respostas.
\{(1,2),(4,2)\} em \mathbb{R}^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto de vetores \{(1,2),(4,2)\} em \mathbb{R}^2 é linearmente independente ou dependente. Vamos usar a definição: o conjunto é independente se a única solução da combinação linear nula for trivial.

Passo 2

Considere a combinação
\alpha\,(1,2)+\beta\,(4,2)=(0,0).
Isto gera o sistema
\begin{cases} \alpha + 4\beta = 0,\\\\ 2\alpha + 2\beta = 0. \end{cases}
Multiplicando a primeira equação por 2 e subtraindo a segunda, obtemos
2\alpha + 8\beta - (2\alpha + 2\beta)=6\beta=0\implies\beta=0.
Substituindo em \alpha+4\beta=0 \alpha=0.

Passo 3

Como a única solução é \alpha=0 e \beta=0, não há combinação não trivial que anule os vetores. Logo, eles não são múltiplos um do outro e formam um conjunto linearmente independente.

Resposta

Os vetores (1,2) e (4,2) são linearmente independentes.

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