Em \mathscr{P}_{2}(\mathbb{R}) considere as bases \mathscr{B}=\left\{2,1-t, 1-t^{2}\right\} e \mathscr{B}^{\prime} a base canônica.
(a) Encontre a matriz M_{\mathscr{B}}^{\mathscr{B}^{\prime}} mudança de base de \mathscr{B}^{\prime}.
(b) Determine [p(t)]_{\mathscr{B}}, para p(t)=7-2 t+t^{2}.

Passo 1

O espaço é \mathscr{P}_{2}(\mathbb{R}) e temos duas bases: a base canônica \mathscr{B}'=\{1,t,t^2\} e \mathscr{B}=\{2,\;1-t,\;1-t^2\}.
(a) Para achar a matriz de mudança de base de \mathscr{B} para \mathscr{B}', vamos usar que as colunas dessa matriz são as coordenadas, em \mathscr{B}', dos vetores de \mathscr{B}.
(b) Para encontrar [p(t)]_{\mathscr{B}}, expressamos p(t)=7-2t+t^2 como combinação linear dos vetores de \mathscr{B} e resolvemos para os coeficientes.

Passo 2

Calculemos as coordenadas, em \mathscr{B}', de cada vetor de \mathscr{B}:
  • Para 2:
2 = 2\cdot1 + 0\cdot t + 0\cdot t^2 \quad\Longrightarrow\quad [2]_{\mathscr{B}'} = \begin{pmatrix}2\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
  • Para 1-t:
1 - t = 1\cdot1 + (-1)\cdot t + 0\cdot t^2 \quad\Longrightarrow\quad [\,1-t\,]_{\mathscr{B}'} = \begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix}.
  • Para 1-t^2:
1 - t^2 = 1\cdot1 + 0\cdot t + (-1)\cdot t^2 \quad\Longrightarrow\quad [\,1-t^2\,]_{\mathscr{B}'} = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -1\end{pmatrix}.

Passo 3

Montamos a matriz M_{\mathscr{B}}^{\mathscr{B}'} cujas colunas são essas coordenadas:
M_{\mathscr{B}}^{\mathscr{B}'} \;=\; \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\\\ 0 & -1 & 0\\\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 4

Queremos \alpha,\beta,\gamma\) tais que \[\alpha\cdot2 \;+\;\beta(1-t)\;+\;\gamma(1-t^2) \;=\;7 - 2t + t^2.
Expandindo:
2\alpha + \beta + \gamma \;+\; (-\beta)\,t \;+\; (-\gamma)\,t^2 \;=\; 7 + (-2)\,t + 1\,t^2.
Igualando coeficientes, obtemos o sistema
\begin{cases} 2\alpha + \beta + \gamma = 7,\\\\ -\beta = -2,\\\\ -\gamma = 1. \end{cases}
Da segunda equação \beta=2\]. Da terceira \(\gamma=-1. Substituindo na primeira:
2\alpha + 2 + (-1) = 7 \quad\Longrightarrow\quad 2\alpha + 1 = 7 \quad\Longrightarrow\quad \alpha = 3.

Resposta

(a)
M_{\mathscr{B}}^{\mathscr{B}'} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\\\ 0 & -1 & 0\\\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.
(b) [\,p(t)\,]_{\mathscr{B}} = \begin{pmatrix}3\\\ 2\\\ -1\end{pmatrix}.

Exercícios relacionados