Em \mathscr{P}_{2}(\mathbb{R}) considere as bases \mathscr{B}=\left\{2,1-t, 1-t^{2}\right\} e \mathscr{B}^{\prime} a base canônica.
(a) Encontre a matriz M_{\mathscr{B}}^{\mathscr{B}^{\prime}} mudança de base de \mathscr{B}^{\prime}.
(b) Determine [p(t)]_{\mathscr{B}}, para p(t)=7-2 t+t^{2}.
Passo 1
O espaço é \mathscr{P}_{2}(\mathbb{R}) e temos duas bases: a base canônica \mathscr{B}'=\{1,t,t^2\} e \mathscr{B}=\{2,\;1-t,\;1-t^2\}.
(a) Para achar a matriz de mudança de base de \mathscr{B} para \mathscr{B}', vamos usar que as colunas dessa matriz são as coordenadas, em \mathscr{B}', dos vetores de \mathscr{B}.
(b) Para encontrar [p(t)]_{\mathscr{B}}, expressamos p(t)=7-2t+t^2 como combinação linear dos vetores de \mathscr{B} e resolvemos para os coeficientes.
Passo 2
Calculemos as coordenadas, em \mathscr{B}', de cada vetor de \mathscr{B}: