Sejam M_{\mathscr{B}^{\prime}}^{\mathscr{B}}=\left[\begin{array}{rrr}1 & 1 & 0 \\\\ 0 & -1 & 1 \\\\ 1 & 0 & -1\end{array}\right] e \mathscr{B} é a base canônica ordenada de \mathbb{R}^{3}. Determine:
(a) A base \mathscr{B}^{\prime}.
(b) [v]_{\mathscr{B}^{\prime}} sabendo que [v]_{\mathscr{B}}=\left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 2 \\\\ 3\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz de mudança de base de \mathscr{B}^{\prime} para a base canônica \mathscr{B} de \mathbb{R}^3, ou seja,
M_{\mathscr{B}^{\prime}}^{\mathscr{B}} =\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 0 & -1 & 1\\\\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix},
e nos pede (a) determinar os vetores de \mathscr{B}^{\prime} em coordenadas canônicas e (b) encontrar [v]_{\mathscr{B}^{\prime}} sabendo que
[v]_{\mathscr{B}} =\begin{pmatrix}-1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix}.
O conteúdo aqui é mudança de base e resolução de sistema linear.

Passo 2

Pela definição de matriz de mudança de base, cada coluna de
M_{\mathscr{B}^{\prime}}^{\mathscr{B}}
é o vetor de \mathscr{B}^{\prime} expresso na base canônica \mathscr{B}. Assim,
\mathscr{B}^{\prime} =\bigl\{ v_1',\,v_2',\,v_3' \bigr\},
onde
v_1'=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix},\quad v_2'=\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix},\quad v_3'=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix}.

Passo 3

Para achar [v]_{\mathscr{B}^{\prime}} usamos a relação
[v]_{\mathscr{B}} = M_{\mathscr{B}^{\prime}}^{\mathscr{B}}\,[v]_{\mathscr{B}^{\prime}}.
Seja [v]_{\mathscr{B}^{\prime}}=(\alpha,\beta,\gamma)^{T}. Então montamos o sistema
\begin{cases} \alpha + \beta = -1,\\\\ -\,\beta + \gamma = 2,\\\ \alpha - \gamma = 3. \end{cases}

Passo 4

Resolvendo o sistema:
da primeira equação \alpha=-1-\beta,
da segunda \gamma=2+\beta,
substituindo na terceira:
(-1-\beta)-(2+\beta)=3 \;\Longrightarrow\;-3-2\beta=3 \;\Longrightarrow\;\beta=-3.
Segue \alpha=2 e \gamma=-1. Logo
[v]_{\mathscr{B}^{\prime}} =\begin{pmatrix}2\\\ -3\\\ -1\end{pmatrix}.

Resposta

(a) \mathscr{B}^{\prime}=\bigl\{(1,0,1),\,(1,-1,0),\,(0,1,-1)\bigr\}.
(b) [v]_{\mathscr{B}^{\prime}}=\begin{pmatrix}2\\\ -3\\\ -1\end{pmatrix}.

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