Escolha uma das duas questões:
Parametrize a elipse E contida no plano
\Pi=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; x+2 y-z=1\right\}
centrada no ponto C=(1,1,2), com um dos vértices no ponto V=(2,0,1) e um dos focos no ponto F=(2,1,3).

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização da elipse E que está contida no plano
\Pi=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x+2y-z=1\},
é centrada em C=(1,1,2), tem um dos vértices em V=(2,0,1) e um dos focos em F=(2,1,3).
O que vamos usar: vetores \overrightarrow{CV} e \overrightarrow{CF} para orientar os eixos menor e maior, respectivamente, e as relações
b=\|\overrightarrow{CV}\|,\quad c=\|\overrightarrow{CF}\|,\quad a=\sqrt{b^2+c^2},
além da forma geral
r(t)=C + a\cos t\,\mathbf{e}_1 + b\sin t\,\mathbf{e}_2.

Passo 2

Encontrar o vetor do foco e sua direção (eixo maior).
\overrightarrow{CF}=F-C=(2-1,\;1-1,\;3-2)=(1,0,1).
O comprimento desse vetor é
c=\|\overrightarrow{CF}\|=\sqrt{1^2+0^2+1^2}=\sqrt{2}.
A unidade na direção maior é
\mathbf{e}_1=\frac{\overrightarrow{CF}}{\|\overrightarrow{CF}\|} =\frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,1).

Passo 3

Encontrar o vetor do vértice e sua direção (eixo menor).
\overrightarrow{CV}=V-C=(2-1,\;0-1,\;1-2)=(1,-1,-1).
O comprimento desse vetor é
b=\|\overrightarrow{CV}\|=\sqrt{1^2+(-1)^2+(-1)^2}=\sqrt{3}.
A unidade na direção menor é
\mathbf{e}_2=\frac{\overrightarrow{CV}}{\|\overrightarrow{CV}\|} =\frac{1}{\sqrt{3}}(1,-1,-1).

Passo 4

Calcular o semi-eixo maior a a partir de a^2=b^2+c^2:
a=\sqrt{b^2+c^2} =\sqrt{(\sqrt{3})^2+(\sqrt{2})^2} =\sqrt{3+2} =\sqrt{5}.

Passo 5

Escrever a parametrização usando
r(t)=C + a\cos t\,\mathbf{e}_1 + b\sin t\,\mathbf{e}_2, \quad t\in[0,2\pi].
Substituindo tudo:
r(t)=(1,1,2) +\sqrt{5}\cos t\;\frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,1) +\sqrt{3}\sin t\;\frac{1}{\sqrt{3}}(1,-1,-1).

Resposta

\boxed{ r(t)=(1,1,2) +\sqrt{\tfrac{5}{2}}\cos t\,(1,0,1) +\sin t\,(1,-1,-1), \quad t\in[0,2\pi]. }

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