Para uma matriz C=(c1 z, j) i=1, ldots, m, j=1, ldots, n complexa (isto é, todos os elementos de C são números complexos):
a) definimos sua matriz conjugada, indicada por barC, como a matriz cujos elementos são os respectivos conjugados dos elementos de C, ou seja, barC=(barc1 i j) para todo i e j;
b) definimos sua matriz conjugada transposta ou a transconjugada, indicada por C^*, como a matriz transposta da matriz conjugada de C, ou seja C^*=barC^T.
(A^*)^*=A

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado uma matriz complexa A=(aij) de tamanho mtimes n, a operação “conjugada transposta” (ou adjunta) é involutiva, isto é,
l(A^*r)^* = A
Vamos usar as definições em termos de entradas e a propriedade fundamental de conjugação de números complexos: overlinez=z.

Passo 2

Pela definição, a matriz conjugada de A é
A = l(aijr)i,j,
e a transconjugada (ou adjunta) é
A^* = A^,T = l(ajir)i,j
Logo, o elemento na linha i, coluna j de A^* é
l(A^*r)ij = aji

Passo 3

Agora aplicamos de novo a operação “conjugada transposta” em A^*. Primeiro tomamos a conjugada de A^*, obtendo
A^* = l(,overlineajir)i,j = l(ajir)i,j,
pois overlinez=z. Em seguida, transpondo,
l(A^*r)^* = A^*^,T = l(aijr)i,j

Passo 4

Vimos que o elemento na posição (i,j) de l(A^*r)^* é exatamente aij, ou seja, coincide com o elemento correspondente de A. Como isso vale para todo i e j, concluímos que as duas matrizes são iguais.

Resposta

l(A^*r)^* = A

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