Para uma matriz complexa (isto é, todos os elementos de são números complexos):
a) definimos sua matriz conjugada, indicada por , como a matriz cujos elementos são os respectivos conjugados dos elementos de , ou seja, para todo e ;
b) definimos sua matriz conjugada transposta ou a transconjugada, indicada por , como a matriz transposta da matriz conjugada de , ou seja .
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado uma matriz complexa de tamanho , a operação “conjugada transposta” (ou adjunta) é involutiva, isto é,
Vamos usar as definições em termos de entradas e a propriedade fundamental de conjugação de números complexos: .
Passo 2
Pela definição, a matriz conjugada de é
e a transconjugada (ou adjunta) é
A^* = A^,T = l(ajir)i,j
Logo, o elemento na linha i, coluna j de A^* é
l(A^*r)ij = aji
Passo 3
Agora aplicamos de novo a operação “conjugada transposta” em A^*. Primeiro tomamos a conjugada de A^*, obtendo
A^* = l(,overlineajir)i,j = l(ajir)i,j,
pois overlinez=z. Em seguida, transpondo,
l(A^*r)^* = A^*^,T = l(aijr)i,j
Passo 4
Vimos que o elemento na posição (i,j) de l(A^*r)^* é exatamente aij, ou seja, coincide com o elemento correspondente de A. Como isso vale para todo i e j, concluímos que as duas matrizes são iguais.